[論文レビュー] Hitchin Systems - symplectic maps and two-dimensional version

A. Levin, M. A. Olshanetsky+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2001

Quantum chaos and dynamical systems被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、次数が異なる正則バンドルを備えたヒチン系の間のシンプレクティック写像を導入し、マークされた点を持つリーマン面におけるバッケランド変換を可能にする。この枠組みを用いて、2次元の楕円型カロジェロ＝モーザー系をSL(N, C)のオイラー＝アルノー頂点に結びつけ、ヒチンのアプローチを無限ランクバンドルを有する2次元可積分系へ一般化し、2次元楕円型CM系からランダウ＝リフシッツ方程式へのシンプレクティック写像を構成する。

ABSTRACT

The aim of this paper is two fold. First, we define symplectic maps between Hitchin systems related to holomorphic bundles of different degrees. It allows to construct the Bäcklund transformations in the Hitchin systems defined over Riemann curves with marked points. We apply the general scheme to the elliptic Calogero-Moser (CM) system and construct the symplectic map to an integrable SL(N, C) Euler-Arnold top (the elliptic SL(N, C)-rotator). Next, we proposed a generalization of the Hitchin approach to 2d integrable theories related to holomorphic bundles of infinite rank. The main example is integrable two-dimensional version of the two-body elliptic CM system. The previous construction allows to define the symplectic map from the two-dimensional elliptic CM system to the Landau-Lifshitz equation.

研究の動機と目的

• 次数が異なる正則バンドルを備えたヒチン系の間のシンプレクティック写像を定義すること。
• マークされた点を持つリーマン曲線上のヒチン系におけるバッケランド変換を構成すること。
• 無限ランク正則バンドルを有する2次元可積分系へヒチン構成を一般化すること。
• 2次元楕円型カロジェロ＝モーザー系からランダウ＝リフシッツ方程式へのシンプレクティック写像を確立すること。

提案手法

• 次数の異なる正則バンドルに基づくヒチン系の間のシンプレクティック写像を定義する。
• 一般枠組みを楕円型カロジェロ＝モーザー系に適用し、SL(N, C)のオイラー＝アルノー頂点へ写像する。
• 無限ランク正則バンドルを用いてヒチン系のアプローチを2次元可積分場理論へ一般化する。
• 2次元楕円型カロジェロ＝モーザー系からランダウ＝リフシッツ方程式へのシンプレクティック写像を構成する。
• 正則バンドル構造とシンプレクティック幾何学を活用し、写像下でも可積分性を保つ。
• マークされた点を持つリーマン面の代数的幾何的構造を活用して変換枠組みを定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次数が異なる正則バンドルを備えたヒチン系の間で、どのようにシンプレクティック写像を構成できるか？
• RQ2 マークされた点が、リーマン曲線上のヒチン系におけるバッケランド変換の実現に果たす役割は何か？
• RQ3 ヒチン系の枠組みを、無限ランクバンドルを有する2次元可積分場理論へどのように拡張できるか？
• RQ4 2次元楕円型カロジェロ＝モーザー系とランダウ＝リフシッツ方程式との間にシンプレクティック写像を確立できるか？
• RQ5 この写像が、2次元場理論の可積分性および構造に与える影響は何か？

主な発見

• 次数が異なる正則バンドルを備えたヒチン系の間のシンプレクティック写像の一般的構成が達成された。
• 楕円型カロジェロ＝モーザー系が、SL(N, C)のオイラー＝アルノー頂点とシンプレクティック同型であることが示された。
• 無限ランク正則バンドルを用いて、ヒチン系の枠組みが2次元可積分場理論へ成功裏に一般化された。
• 2次元楕円型カロジェロ＝モーザー系からランダウ＝リフシッツ方程式へのシンプレクティック写像が構成された。
• 構成は可積分性を保ち、有限次元および無限次元可積分系の間の新しい幾何的リンクを提供する。
• このアプローチにより、マークされた点を持つリーマン面上のヒチン系におけるバッケランド変換の体系的導出が可能になった。