[論文レビュー] Hitting and returning into rare events for all alpha-mixing processes

Miguel Abadi, Benoît Saussol|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2010

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、任意のα-混合定常過程に対して、希少事象への到達時間および再訪問時間——特にn-文字列またはシリンダーの和集合——が適切に正規化されたとき、その分布が指数分布に収束することを確立している。主な貢献は、短い再訪問特性を考慮する正規化定数λ(Aₙ)を同定し、測度が多項式的に減少する集合に対しても一様収束を示したことにある。

ABSTRACT

We prove that for any $α$-mixing stationnary process the hitting time of any $n$-string $A_n$ converges, when suitably normalized, to an exponential law. We identify the normalization constant $λ(A_n)$. A similar statement holds also for the return time. To establish this result we prove two other results of independent interest. First, we show a relation between the rescaled hitting time and the rescaled return time, generalizing a theorem by Haydn, Lacroix and Vaienti. Second, we show that for positive entropy systems, the probability of observing any $n$-string in $n$ consecutive observations, goes to zero as $n$ goes to infinity.

研究の動機と目的

• α-混合過程における希少事象の到達時間および再訪問時間の分布が指数分布に収束することを確立すること。
• λ(Aₙ) ≠ 1 の場合を含む一般化された状況でも指数法則への収束を保証する正規化定数λ(Aₙ)を同定すること。
• Haydn-Lacroix-Vaientiの定理が、λ(Aₙ) = 1 の場合に限らない一般化されたα-混合設定に拡張されることを示すこと。
• n回の連続観測において特定のn-文字列またはn-シリンダーの和集合が観測される確率が、nが増加するにつれて一様にゼロに収束することを示すこと、すなわち弱い混合条件下でも成立すること。
• 収束が集合Aₙ上で一様に成立することを示し、その一様性がシリンダーの具体的な選択に依存せず、その個数にのみ依存することを示すこと。

提案手法

• α-混合条件（最も弱い混合性）を用いるが、α(g)の和分可能性を仮定しない。これにより、広範な適用可能性が得られる。
• 正規化された到達時間λ(Aₙ)μ(Aₙ)τₐₙと正規化された再訪問時間の間の新規なエルゴディック関係を確立し、λ(Aₙ) ≠ 1 の場合にまでHaydn-Lacroix-Vaientiの結果を一般化する。
• ヘリーの選別原理および劣化収束定理を用いて、到達時間および再訪問時間の分布関数の収束を証明する。
• マーカフの不等式およびカックの補題を用いて再訪問時間分布の上限を導出し、到達時間と再訪問時間のCDFの間の積分関係を導出する。
• √(μ(τₐₙ ≤ n) + α(n))およびμ(Aₙ)を含む境界を用いて、近似誤差の一様収束を証明する。μ(Aₙ)が多項式的に減少する場合でも、その減少が保証されることを示す。
• μ(τₐₙ ≤ n) → 0 (n → ∞) であることに着目し、指数近似の誤差が一様に消えることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正規化定数λ(Aₙ)が0に近づく可能性がある場合でも、α-混合過程における希少事象の到達時間分布が指数法則で近似可能か。
• RQ2 Haydn-Lacroix-Vaientiの元々の結果がλ(Aₙ) = 1 の場合に限るが、一般化された状況では、正規化された到達時間と再訪問時間の関係はどのように拡張されるか。
• RQ3 α-混合条件下で、n回の連続観測における特定のn-文字列またはn-シリンダーの和集合が観測される確率の減少速度はどの程度か。
• RQ4 指数法則への収束が集合Aₙ上で一様に成立するか。その一様性は何かに依存するか。
• RQ5 正規化定数λ(Aₙ)は、特に正エントロピーを持つ系において、短い再訪問特性に基づいて明示的に特徴付け可能か。

主な発見

• 任意のα-混合過程において、正規化された到達時間λ(Aₙ)μ(Aₙ)τₐₙは、t > 0 について一様に、レート1の指数分布に収束する。
• 指数近似の誤差境界は、12√(2μ(τₐₙ ≤ n) + α(n)) + 2μ(Aₙ) で与えられ、n → ∞ のとき0に収束する。
• 正規化定数λ(Aₙ)は0から有界でない。つまり、任意に小さくとれる。これは、より強い混合条件を仮定する従来の結果とは対照的である。
• n回の連続観測における任意のn-文字列またはn-シリンダーの和集合が観測される確率は、nが増加するにつれて一様にゼロに収束する。μ(Aₙ)が1より小さい指数の多項式的減少を示しても成立する。
• 極限における到達時間分布F(t)と再訪問時間分布G(s)の間には、F(t) = F(0+) + ∫₀ᵗ G(s)ds という積分関係が成り立つ。これは、Haydn-Lacroix-Vaientiの結果をα-混合設定に一般化したものである。
• 再訪問時間分布が連続なGに収束する場合、到達時間分布の収束は任意のs > 0に対して[s, ∞)上で一様に成立する。