[論文レビュー] Hitting Probabilities for Systems of Non-Linear Stochastic Heat Equations with Additive Noise

Robert C. Dalang, Davar Khoshnevisan+1 more|ArXiv.org|Feb 23, 2007

Stochastic processes and financial applications被引用数 71

ひとこと要約

本稿は、1次元空間的側面を持つd個の結合非線形確率的熱方程式系の解の到達確率について、上界および下界を確立する。d次元の空間時間白色ノイズによって駆動されるこの系に対して、容量およびハウスドルフ測度を用いて、ℝᵈ 内のボレル集合Aが解過程に対して非極的（nonpolar）であるための条件は、(d−6)次元容量が正であること、極的（polar）であるための条件は、(d−6)次元ハウスドルフ測度がゼロであることである。同様の結果が固定時間および固定空間点に対しても得られ、非線形SPDEにポテンシャル理論を拡張する。

ABSTRACT

We consider a system of $d$ coupled non-linear stochastic heat equations in spatial dimension 1 driven by $d$-dimensional additive space-time white noise. We establish upper and lower bounds on hitting probabilities of the solution $\{u(t, x)\}_{t \in \mathbb{R}_+, x \in [0, 1]}$, in terms of respectively Hausdorff measure and Newtonian capacity. We also obtain the Hausdorff dimensions of level sets and their projections. A result of independent interest is an anisotropic form of the Kolmogorov continuity theorem.

研究の動機と目的

• 1次元空間的側面における加法的空間時間白色ノイズによって駆動される非線形確率的熱方程式系のポテンシャル理論を構築すること。
• 解過程がある与えられたボレル集合A ⊂ ℝᵈ を正の確率で到達する条件を特定すること。
• 容量およびハウスドルフ測度を用いて、到達確率の鋭い上界および下界を確立すること。
• 解過程のレベル集合およびその射影のハウスドルフ次元を同定すること。
• 技術的道具として、非一様なコルモゴロフ連続性定理の形を導出すること。

提案手法

• 解は、ノイマン境界条件を満たす熱方程式のグリーン関数を用いた確率積分表現によって定義される。
• 時間および空間における標本路の正則性を制御するために、非一様なコルモゴロフ連続性定理の応用に依拠する。
• 容量およびハウスドルフ測度を用いて、解過程の極的および非極的集合を特徴付ける。
• ポテンシャル核とグリーン関数との関係を特定し、解の局所時刻を評価するために、畳み込み推定およびフーリエ解析を用いる。
• 極座標および修正ベッセル関数の漸近的解析を用いて、ポテンシャル核の可積分性および減衰性に関する補題を確立する。
• 主な推定は畳み込み恒等式および$L^1$-フーリエ変換の性質に基づき、マルチンゲール計算のツールとポテンシャル的推定を組み合わせた証明技法を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 加法的ノイズを伴う非線形確率的熱方程式系の解が、ℝᵈ 内の与えられたボレル集合を正の確率で到達する条件は何か？
• RQ2 解過程の到達確率は、次元dおよび標的集合Aの幾何的性質にどのように依存するか？
• RQ3 解過程のレベル集合のハウスドルフ次元（時間、空間、空間時間）は何か？
• RQ4 解の正則性（非一様 Hölder 継続性で測定される）は、その到達行動にどのように影響するか？
• RQ5 この文脈において、非極的集合の容量とハウスドルフ測度の条件の間のギャップを埋めることは可能か？

主な発見

• ボレル集合A ⊂ ℝᵈ は、空間時間過程 (t,x) ↦ u(t,x) に対して、(d−6)次元ニュートン容量が正であれば非極的である。
• ボレル集合A ⊂ ℝᵈ は、空間時間過程に対して、(d−6)次元ハウスドルフ測度がゼロであれば極的である。
• 固定時間t > 0に対して、ボレル集合A ⊂ ℝᵈ は、x ↦ u(t,x) に対して、(d−2)次元容量が正であれば非極的である。
• 固定時間t > 0に対して、ボレル集合A ⊂ ℝᵈ は、x ↦ u(t,x) に対して、(d−2)次元ハウスドルフ測度がゼロであれば極的である。
• 固定空間点x ∈ [0,1]に対して、ボレル集合A ⊂ ℝᵈ は、t ↦ u(t,x) に対して、(d−4)次元容量が正であれば非極的である。
• 固定空間点x ∈ [0,1]に対して、ボレル集合A ⊂ ℝᵈ は、t ↦ u(t,x) に対して、(d−4)次元ハウスドルフ測度がゼロであれば極的である。