[論文レビュー] Hitting Sets for Orbits of Circuit Classes and Polynomial Families

Saha, Chandan, Thankey, Bhargav|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Polynomial and algebraic computation参考文献 37被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、複素数または実数上の同次的3次多項式が、線形独立な線形形式の立方の和として書けるかどうかをテストするランダム化された代数的アルゴリズムを提示する。この手法は、ヘッセ行列の同時対角化を用いた対称テンソル分解を用い、多項式因数分解を回避する。ビットモデルにおいてℚ上で多項式時間で実行可能であり、ブラックボックス恒等性テスト、変数の最小化、リー代数の計算、線形形式への因数分解といった問題の確率的除去を可能にする。

ABSTRACT

The orbit of an n-variate polynomial f(𝐱) over a field 𝔽 is the set {f(A𝐱+𝐛) : A ∈ GL(n,𝔽) and 𝐛 ∈ 𝔽ⁿ}. In this paper, we initiate the study of explicit hitting sets for the orbits of polynomials computable by several natural and well-studied circuit classes and polynomial families. In particular, we give quasi-polynomial time hitting sets for the orbits of: 1) Low-individual-degree polynomials computable by commutative ROABPs. This implies quasi-polynomial time hitting sets for the orbits of the elementary symmetric polynomials. 2) Multilinear polynomials computable by constant-width ROABPs. This implies a quasi-polynomial time hitting set for the orbits of the family {IMM_{3,d}}_{d ∈ ℕ}, which is complete for arithmetic formulas. 3) Polynomials computable by constant-depth, constant-occur formulas. This implies quasi-polynomial time hitting sets for the orbits of multilinear depth-4 circuits with constant top fan-in, and also polynomial-time hitting sets for the orbits of the power symmetric and the sum-product polynomials. 4) Polynomials computable by occur-once formulas.

研究の動機と目的

• 同次的3次多項式がℂおよびℝ上でのn個の立方の和に同値であるかどうかをテストする多項式時間アルゴリズムの開発。
• 従来の再構成アルゴリズムで共通して使われる多項式因数分解に依存しないことの実現。
• 係数における四則演算および等値・非等値比較のみを用いる決定的で代数的なアルゴリズムの提供。
• 関連問題における確率的除去の実現：ブラックボックス恒等性テスト、変数の最小化、リー代数の計算、線形形式への因数分解。
• 標準チューリングマシンモデルにおける有理数係数入力に対して、強多項式時間アルゴリズムの確立。

提案手法

• 入力多項式fのヘッセ行列を用いて、fの対称性を特徴付けるリー代数を計算する。
• リー代数の基底に対して同時に対角化を適用し、fを単項式形に変換する。
• d次べきの和のリー代数が次元n−1で、可換かつ対角化可能な行列からなるという事実を活用する。
• 直交補空間の計算を用いて、単項式x^αにおける指数ベクトルαを回復する。
• 行列変換Aを用いて線形形式を再構成し、f(x) = λ·(Ax)^αとなるようにする。
• 密行列代数と有理数のd乗根抽出を用いて、分解の検証を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理数上の同次的3次多項式がℂまたはℝ上でのn個の立方の和に同値であるかどうかを多項式時間でテストできるか？
• RQ2 多項式因数分解を回避する代数的アルゴリズムをこの問題に対して設計可能か？
• RQ3 四則演算および比較演算のみを用いて、同値性テストを確率的除去可能か？
• RQ4 代数的手法を用いて多項式の変数数を最小化する計算複雑度はいかほどか？
• RQ5 多項式のリー代数を用いて、線形形式のべきの積への決定的因数分解アルゴリズムを導出可能か？

主な発見

• 有理数係数入力に対して、標準チューリングマシンモデルで強多項式時間で実行可能であり、強い多項式性を達成する。
• 多項式因数分解を完全に回避し、ヘッセ行列のリー代数の同時対角化による対称テンソル分解に依存する。
• DerandLie手順を用いて、線形形式のべきの積への因数分解に対する決定的ブラックボックスアルゴリズムを構築する。
• 有理数係数の可逆変換Aを用いてf(x) = P_d(Ax)となるような、ℚ上でのP_d = ∑x_i^dに同値なすべての多項式を正しく同定する。
• fのリー代数が(n−1)次元でアーベルであることは、fが線形独立な線形形式のn個のd次べきの和であるための必要十分条件である。
• アルゴリズムは頑健である：線形形式のべきの積に因数分解できない入力に対してのみ失敗するが、これは任意の決定的ブラックボックスアルゴリズムにとって避けられない。