[論文レビュー] Hitting time for Bessel processes - walk on moving spheres algorithm

Mädälina Deaconu, Samuel Herrmann|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2011

Stochastic processes and financial applications被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、コックス＝インガースォル＝ローズ（CIR）過程とベッセル過程の既知の関係を活用し、像の法則を用いて、ベッセル過程の到達時間（ hitting times ）を効率的に計算する、新たな移動する球面上のウォーク（walk on moving spheres）アルゴリズムを提案する。主な貢献は、金融オプションのボラティリティモデルや最適制御問題に適用可能な、数値的に安定で高精度なシミュレーション手法の確立である。

ABSTRACT

In this article we investigate the hitting time of some given boundaries for Bessel processes. The main motivation is coming from mathematical finance when dealing with volatility models but the results can also be used in optimal control problems. The aim is here to construct a new and efficient algorithm in order to approach this hitting time. As an application we will consider the hitting time of a given level for the Cox-Ingersoll-Ross process. The main tools we use are on one side an adaptation of the method of images to this particular situation and on the other side the connection existing between Cox-Ingersoll-Ross processes and Bessel processes.

研究の動機と目的

• 数学的ファイナンスにおける応用を背景に、ベッセル過程の境界への到達時間を効率的に計算するアルゴリズムの開発を目的とする。
• 特にコックス＝インガースォル＝ローズ（CIR）過程における、確率的ボラティリティモデルの到達時間のシミュレーションにおける計算課題に対処することを目的とする。
• 拡散過程における時変または移動する境界問題に、像の法則を適応させることを目的とする。
• CIR過程とベッセル過程の内在的関係を活用することで、シミュレーションの精度と効率を向上させることを目的とする。
• 金融工学および最適制御分野での実用的かつ数値的に安定なアルゴリズムの提供を目的とする。

提案手法

• 像の法則を、境界条件が時間に依存するまたは移動するベッセル過程に適応させ、吸収境界条件を満たす確率過程の構築を可能にする。
• CIR過程と平方ベッセル過程との間の既知の確率的表現を用いて、到達時間問題をベッセル過程の枠組みに移行する。
• 粒子が時間とともに決定的に変化する半径を持つ球面に到達するまでブラウン運動を実行する、移動する球面上のウォークアルゴリズムを構築する。
• 条件付き期待値と反射原理を用いたモンテカルロシミュレーションにより、到達時間を高効率に推定する。
• ベッセル過程のマルコフ性および強マルコフ性を活用することで、数値的安定性を確保する。
• CIR過程に対する数値実験を通じて、既知の解析的近似と比較することでアルゴリズムの妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 像の法則は、ベッセル過程における時変境界にどのように拡張可能か？
• RQ2 CIR過程の到達時間を、CIR-ベッセル過程の関係を用いて効率的にシミュレートする最良の方法は何か？
• RQ3 移動する球面上のウォークアルゴリズムは、この文脈において、精度と計算効率の両方を達成できるか？
• RQ4 分散と収束性の観点から、標準的なモンテカルロ法やイタレーション・マルヤマスキームと比較して、提案手法はどのように差をつけるか？
• RQ5 非マルコフ的または時不変でない境界問題に像の法則を適用する際の理論的および実用的限界は何か？

主な発見

• 移動する球面上のウォークアルゴリズムは、CIR過程における到達時間のシミュレーションにおいて、標準的なモンテカルロ法に比べて顕著な計算効率の向上を実現する。
• 像の法則を移動境界に適応させることで、特定の境界条件下での最初の通過時間の正確なシミュレーションが可能になる。
• 像の法則がベッセル過程の枠組みで正確に機能するため、アルゴリズムは高い精度を達成する。
• CIR過程とベッセル過程の関係により、境界条件問題がより取り扱いやすい形に変換可能となる。
• 数値結果は、本手法の安定性と収束性を確認しており、CIR過程の直接的シミュレーションに比べて分散が低減している。
• 本手法は、金利モデルや金融工学におけるボラティリティ・サーフェスのキャリブレーションへの応用において特に適している。