[論文レビュー] Hitting times, functional inequalities, lyapunov conditions and uniform ergodicity

Patrick Cattiaux, Arnaud Guillin|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 63被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、F-Sobolev型やPoincaré型不等式などの強い関数不等式と、リャプノフ型条件との完全な同値性を確立し、これらの不等式が到達時間の一般化された指数的モーメントの有限性によって特徴づけられることを示している。さらに、非有界なリャプノフ条件が一様混合性および無限大からの降下性を示す可能性を示し、混合性、関数不等式、到達時間の積分可能性を結びつける理論的枠組みを完成させている。

ABSTRACT

The use of Lyapunov conditions for proving functional inequalities was initiated in [5]. It was shown in [4, 30] that there is an equivalence between a Poincar{\\'e} inequality, the existence of some Lyapunov function and the exponential integrability of hitting times. In the present paper, we close the scheme of the interplay between Lyapunov conditions and functional inequalities by $\\bullet$ showing that strong functional inequalities are equivalent to Lyapunov type conditions; $\\bullet$ showing that these Lyapunov conditions are characterized by the finiteness of generalized exponential moments of hitting times. We also give some complement concerning the link between Lyapunov conditions and in-tegrability property of the invariant probability measure and as such transportation inequalities , and we show that some "unbounded Lyapunov conditions" can lead to uniform ergodicity, and coming down from infinity property.

研究の動機と目的

• 拡散過程におけるリャプノフ条件、関数不等式、到達時間性質の間の理論的ギャップを埋めること。
• リャプノフ型条件による強い関数不等式の完全な特徴づけを確立すること。
• 到達時間の一般化された指数的モーメントの有限性が強い関数不等式と同値であることを示すこと。
• 非有界リャプノフ条件が一様混合性および無限大からの降下性に与える影響を明らかにすること。
• リャプノフ条件、不変測度の積分可能性、輸送不等式との関係を明確にすること。

提案手法

• 著者らは、ある $ \lambda > 0 $、有界な開集合 $ U $、および $ W \geq w > 0 $ を満たすリャプノフ関数 $ W $ が $ LW \leq -\lambda W + \mathbf{1}_{\bar{U}} $ を満たすことを仮定する。
• ある $ \theta > 0 $ に対して $ \mathbb{E}_x[e^{\theta T_U}] < \infty $ を満たす条件を用いて、到達時間 $ T_U $ の指数的積分可能性を分析する。
• 鍵となる技術的道具は、関数 $ \phi $ が一般化されたリャプノフ条件 $ (\phi\text{-}Lyap) $ を満たすもので、$ \phi $ は下から有界であり、$ 1/\phi $ はリプシッツ定数 $ \eta < 1 $ を持つこと。
• コーシー・シュワルツと勾配推定を用いて、$ \beta_n = \int \psi^{2n} d\mu $ のモーメントに再帰的バウンドを導出し、指数的モーメントバウンドに至る。
• 証明は、$ \left| \nabla(\psi^n / \phi) \right|^2 $ の推定に依拠し、$ |\nabla(\psi^2)|/\phi $、$ |\nabla\phi|/\phi^2 $、および $ \psi^2/\phi^2 $ の有界性を仮定する。
• 著者らは $ (\phi\text{-}Lyap) $ 条件と、$ \mathbb{E}_x[\exp(\int_0^{T_C} \phi^2(X_s) ds)] < \infty $ のモーメント生成関数を結びつけ、これにより到達時間の挙動と関連づけている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 強い関数不等式とリャプノフ型条件との間に完全な同値性が存在するか？
• RQ2 到達時間の一般化された指数的モーメントの有限性が、強い関数不等式を完全に特徴づけることができるか？
• RQ3 非有界リャプノフ条件ですら、一様混合性および無限大からの降下性を示すことができるか？
• RQ4 リャプノフ条件は不変測度の積分可能性および輸送不等式とどのように関係しているか？
• RQ5 弱Poincaré不等式は、リャプノフ条件と局所Poincaré不等式から導けるか？

主な発見

• F-Sobolev型やPoincaré型の強い関数不等式は、ある $ \lambda > 0 $ および有界な $ U $ に対して $ LW \leq -\lambda W + \mathbf{1}_{\bar{U}} $ を満たすリャプノフ関数の存在と同値である。
• 到達時間 $ \mathbb{E}_x[e^{\theta T_U}] < \infty $ の一般化された指数的モーメントの有限性は、強い関数不等式の必要十分条件である。
• 非有界リャプノフ条件ですら、一様混合性および無限大からの降下性を示すことができ、古典的結果を拡張する。
• 下から有界で、$ 1/\phi $ が $ \eta $-リプシッツ（$ \eta < 1 $）であるような $ \phi $-リャプノフ条件が成り立つ場合、ある $ a' > 0 $ に対して $ \int e^{a' \psi^2} d\mu < \infty $ が成り立つ。
• $ (\phi\text{-}Lyap) $ 条件は $ \mathbb{E}_x[\exp(\int_0^{T_C} \phi^2(X_s) ds)] < \infty $ を示し、モーメント生成と到達時間挙動を結びつける。
• 本稿では、弱Poincaré不等式の逆が一般には成り立たないことが示されており、距離の指数的積分可能性がPoincaré不等式を示さないことが判明している。