[論文レビュー] Hitting Times of an Inverse Gaussian Process

P. Vellaisamy, Arun Kumar|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2013

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 25被引用数 2

ひとこと要約

本稿は逆ガウス過程の最初の到達時間過程を調査し、それがレヴィ過程でないが、連続的かつ単調増加な標本路を持つことを証明している。正確な密度関数と分布関数を導出し、指数的尾部減衰を示し、密度関数が分数係数偏微分方程式（PDE）を満たすことを示している。さらに、ブラウン運動への劣化を用いて、β安定およびトメイペッド安定過程への拡張も行われている。

ABSTRACT

The first hitting time process of an inverse Gaussian process is considered. It is shown that this process is not Levy and has monotonically increasing continuous sample paths. The density functions of one-dimensional distributions of the process are obtained. Its distribution functions are not infinitely divisible and their tail probability decay exponentially. A similar result is obtained for the hitting time of a β-stable process. The density function is shown to solve a fractional PDE and then generalized to tempered stable process. Subordination of the hitting time process to Brownian motion and the underlying PDE of the subordinated process is derived.

研究の動機と目的

• 逆ガウス過程の最初の到達時間過程を特徴づけ、その確率的性質を特定すること。
• 到達時間過程の正確な密度関数と分布関数を導出すること。
• 到達時間分布の無限可除性および尾部挙動を調査すること。
• ブラウン運動への劣化を用いて、結果をβ安定およびトメイペッド安定過程へ拡張すること。

提案手法

• 最初の到達時間の密度関数を、第一通過時間解析を用いて導出する。
• 標本路の性質を分析し、連続性および単調増加性を確立する。
• 分布が無限可除でなく、尾部確率に指数的減衰を示すことを示す。
• 到達時間密度関数が分数係数偏微分方程式（PDE）を満たすことを示す。
• PDEフレームワークをβ安定過程へ拡張し、一般にトメイペッド安定過程へ一般化する。
• 到達時間過程が標準ブラウン運動に劣化されることを確立し、劣化過程の対応するPDEを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 逆ガウス過程の最初の到達時間過程の標本路の性質は何か？
• RQ2 到達時間の分布は無限可除性を満たすか？ その尾部挙動はいかなるものか？
• RQ3 到達時間密度関数は分数係数PDEの解として特徴づけられるか？
• RQ4 このフレームワークはβ安定およびトメイペッド安定過程へどのように拡張されるか？
• RQ5 到達時間過程とブラウン運動の間の劣化関係は何か？

主な発見

• 逆ガウス過程の最初の到達時間過程は、連続的かつ単調増加な標本路を持つ。
• 到達時間の分布は無限可除ではなく、尾部確率に指数的減衰を示す。
• 到達時間の密度関数は分数係数PDEを満たし、異常拡散過程との関連を確立する。
• 結果はβ安定過程へ拡張され、そこでも到達時間密度関数は分数係数PDEを満たす。
• トメイペッド安定過程では、PDE解の枠組みが一般化され、指数的尾部減衰が保持される。
• 到達時間過程は標準ブラウン運動に劣化され、劣化過程を記述するPDEが明示的に導出された。