[論文レビュー] Hochschild and cyclic homology of central extensions of preprojective algebras of ADE quivers

Ching-Hwa Eu|ArXiv.org|Jun 16, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、4周期的な射影的分解を用いて、ADEクーヴィーの中心的拡大された前射影的代数のホッフシュィルトおよびサイクルホモロジーを計算し、ホモロジーとコホモロジーにおける周期性を確立する。変形空間と第二ホッフシュィルトコホモロジー群の間の同型を用いて、代数の普遍変形を同定し、変形理論が遮蔽されていないことを示す。

ABSTRACT

Let A be the central extension of the preprojective algebra of an ADE quiver introduced by P. Etingof and E. Rains in math/0503393. The paper math/0606403 computes the structure of the zeroth Hochschild (co)homology of A. We generalize the results of math/0606403 by calculating the additive structure of all the Hochschild homology and cohomology groups of A and the cyclic homology of A, and to describe the universal deformation of A. Namely, we show that the (co)homology is periodic with period 4, and compute the first four (co)homology groups in each case.

研究の動機と目的

• ADEクーヴィーの中心的拡大された前射影的代数のホッフシュィルトホモロジーおよびコホモロジー、およびサイクルホモロジーの加法的構造を計算すること。
• これらの代数のホッフシュィルト（コ）ホモロジーおよびサイクルホモロジーにおける周期性を確立し、周期を4とする。
• HH²(A)の分析を通じて、中心的拡大された前射影的代数の普遍変形を特定すること。
• 先行研究の中心およびトレース空間に関する結果（[ELR] より）を、完全な（コ）ホモロジー構造へ一般化すること。
• （コ）ホモロジーにおける積構造を計算するための枠組みを提供すること。これは今後の課題として残されている。

提案手法

• 経路代数上の次数付き双加法的モジュールを用いて、中心的拡大された前射影的代数 A の4周期的射影的分解を構成する。
• 周期的分解を用いて、最初の4つのホッフシュィルトホモロジーおよびコホモロジー群を計算し、周期性を確立する。
• ヒルベルト系列の形式的論法を用いて、ホモロジーおよびコホモロジーの生成関数を計算し、[ELR] の結果と[RS] の組合せ的恒等式を活用する。
• 分解間のチェーン写像 f₁ および f₂ を定義し、可換性を証明することで、分解内の微分を関連付ける。
• A^e 上のホモロジー関手を用いて分解を双対化し、誘導写像 f₁* および f₂* を通じてホッフシュィルトコホモロジーを計算する。
• 写像 θ が E' から A/([A,A] + μZ) への同型を誘導することを示し、E' と HH²(A) の間の同型を確立することで、変形空間 E' を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中心的拡大された ADE クーヴィーの前射影的代数のホッフシュィルトホモロジーおよびコホモロジーの加法的構造は何か？
• RQ2 これらの代数のホッフシュィルト（コ）ホモロジーは周期的であるか。もしそうなら、周期は何か？
• RQ3 中心的拡大された前射影的代数の普遍変形は、どのように明示的に記述できるか？
• RQ4 変形空間と第二ホッフシュィルトコホモロジー群 HH²(A) の間の関係は何か？
• RQ5 既知の結果と組合せ的恒等式を用いて、ホモロジーおよびコホモロジー群のヒルベルト系列を計算できるか？

主な発見

• 中心的拡大された前射影的代数 A のホッフシュィルトホモロジーおよびコホモロジーは、周期4で周期的である。
• 最初の4つのホッフシュィルトホモロジーおよびコホモロジー群が明示的に計算され、[ELR] の結果と組合せ的恒等式を用いてヒルベルト系列が決定された。
• A のサイクルホモロジーが計算され、同じデータからそのヒルベルト系列が導出された。
• 変形空間 E' は ker(θ) の補空間として特定され、写像 θ が E' から A/([A,A] + μZ) への同型を誘導し、これは HH²(A) に同型である。
• A' = P[z][[t₁,…,tₛ]] / (∑[a,a*] = μz + ∑tᵢwᵢ) で定義される部分変形 A' は、A の普遍変形である。
• HH²(A) がすべての形式的変形を分類するため、A の変形理論は遮蔽されていない。E' との同型により、普遍性が保証される。