[論文レビュー] Hochschild cohomology of Jacobian algebras from unpunctured surfaces: A geometric computation

Yadira Valdivieso-Díaz|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、内部三角形や境界の種別といった三角形分割の不変量を用いて、穴のないリーマン面から生じるジャンビアン代数のホッホシュילדコhomology次元の幾何的計算を提供する。次元 dimₖ HHⁿ(Aₜ) の明示的公式を、表面の位相に従って示し、非自明なゲルステンハーバー代数構造が生じるのは内部三角形が存在する場合に限ることを示し、これらの代数の導来同値類を完全に分類するのはホッホシュILD cohomologyだけでは不十分であることを示している。

ABSTRACT

There are several examples in which algebraic properties of Jacobian algebras from (unpunctured) Riemann surfaces can be computed from the geometry of the Riemann surface. In this work, we compute the dimension of the Hochschild cohomology groups of any Jacobian algebra from unpunctured Riemann surfaces. In those expressions appear geometric objects of the triangulated surface, namely: the number of internal triangles and certain types of boundaries. Moreover, we give geometric conditions on the triangulated surface $(S,M,\mathbb T)$ such that the Gerstenhaber algebra $\operatorname{HH}^*(A_{\mathbb T})$ has non-trivial multiplicative structures. We also show that the derived class of Jacobian algebras from an unpunctured surface $(S,M)$ is not always completely determined by the Hochschild cohomology.

研究の動機と目的

• 穴のないリーマン面に関連するジャンビアン代数のホッホシュILD cohomology群の次元を計算すること。
• これらの次元を、内部三角形や境界の種別といった、三角形分割された表面の幾何的不変量で表現すること。
• ジャンビアン代数構造 HH*(Aₜ) のゲルステンハーバー代数構造が非自明となる条件を特定すること。
• ホッホシュILD cohomologyが、これらの代数の導来同値類を完全に分類できるかを調査すること。

提案手法

• レドンドとロマンによる、きわめて簡単な代数のホッホシュILD cohomologyの既知の公式を活用する。
• 三角形分割された表面からのクワイバーとポテンシャルのデータを、内部三角形、タイプ0および1の境界、およびマークド点といった幾何的不変量に変換する。
• 表面の位相的不変量（ genus g、境界成分の数 b、マークド点の数 c）を用いて、クワイバー内の頂点および矢印の数を計算する。
• 体 k の特性に応じて、HHⁿ(Aₜ) の次元公式を導出する。特性 ≠ 2 と特性 = 2 の場合を区別する。
• ホッホシュILD cohomologyが失敗する場合に導来同値類を区別するために、AG不変量を適用する。
• ホッホシュILD cohomologyが導来クラスを決定しないことを示すために、2つの境界成分を持つトーラス上に明示的な反例を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 穴のない表面からのジャンビアン代数のホッホシュILD cohomology群 HHⁿ(Aₜ) の次元は、幾何的用語でどのように表されるか？
• RQ2 HH*(Aₜ) 上のゲルステンハーバー代数構造が非自明となる幾何的条件は何か？
• RQ3 ホッホシュILD cohomologyのみで、穴のない表面からのジャンビアン代数の導来同値類を完全に決定できるか？
• RQ4 特に n ≥ 2 の次数において、コホモロジー次元は体の特性にどのように依存するか？
• RQ5 ホッホシュILD cohomologyを超える幾何的不変量は、この文脈で導来同値類を区別するために利用可能か？

主な発見

• HH⁰(Aₜ) の次元は、タイプ0の境界成分の数に1を加えたものに等しい。
• HH¹(Aₜ) の次元は、タイプ1の境界成分の数に1を加え、さらにクワイバー Qₜ の矢印数から頂点数を引いた値を加えたものに等しい。
• 特性 k ≠ 2 かつ n ≥ 2 の場合、dimₖ HHⁿ(Aₜ) は |int(𝕋)| に等しく、n ≡ 0 または 1 (mod 6) のときであり、それ以外の場合は 0 である。
• 特性 k = 2 かつ n ≥ 2 の場合、dimₖ HHⁿ(Aₜ) は |int(𝕋)| に等しく、n ≡ 0 または 1 (mod 3) のときであり、それ以外の場合は 0 である。
• HH*(Aₜ) のカップ積は、三角形分割に少なくとも1つの内部三角形が存在する場合にのみ非自明である。
• ジャンビアン代数の導来クラスは、ホッホシュILD cohomologyだけでは完全に決定されない。これは、HH* が同型であるが AG不変量が同型でない反例により示されている。