[論文レビュー] Hochschild cohomology of smash products and rank one Hopf algebras

Sebastian Burciu, Sarah Witherspoon|ArXiv.org|Aug 30, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$A\#H$ のホッジ・コホモロジーを計算するための新しい枠組みを確立する。これは、$(A\#H)^{\otimes 2}$ の部分代数 $\mathcal{D}$ を導入し、任意の $B$-両側 $M$ に対して $\mathrm{HH}^*(A\#H, M) \cong \mathrm{Ext}^*_{\mathcal{D}}(A, M)$ を示す。また、コホモロジー環が $\mathrm{HH}^*(A)$ の $H$-不変部分と中心 $Z(A\#H)$ によって生成されることを証明し、$H$ が半単純であるとき、カイグンのホップ・ホッジ・コホモロジーがホッジ・コホモロジーと同型であることを示す。

ABSTRACT

We give some general results on the ring structure of Hochschild cohomology of smash products of algebras with Hopf algebras. We compute this ring structure explicitly for a large class of finite dimensional Hopf algebras of rank one.

研究の動機と目的

• スモーズ積 $A\#H$ のホッジ・コホモロジーのベクトル空間分解を、$A = k$ および $H = kG$ の場合を越えて一般化すること。
• 部分代数 $\mathcal{D} \subset (A\#H)^e$ を用いて、$\mathrm{HH}^*(A\#H)$ 上のカップ積のコチェーンレベルでの記述を提供すること。
• $H$ が半単純であるとき、$A\#H$ のホッジ・コホモロジーとカイグンのホップ・ホッジ・コホモロジーとの間の環同型を確立すること。
• ランク1のホップ代数 $B = A\#kG$（$A = k[x]/(x^n)$）の $\mathrm{HH}^*(B)$ の完全な次数付き環構造を計算すること。

提案手法

• 部分代数 $\mathcal{D} \subset (A\#H)^e$ を $\mathcal{D} = \{ a h_1 \otimes S(h_2) b \mid a,b \in A, h \in H \}$ で定義し、$A\#H$ のコホモロジーを制御する。
• 任意の $A\#H$-両側 $M$ に対して $\mathrm{HH}^*(A\#H, M) \cong \mathrm{Ext}^*_{\mathcal{D}}(A, M)$ を証明し、既知の分解を一般化する。
• ブエノスアイレス循環ホモロジー研究グループが提示した明示的チェーン写像を用いて、ランク1ホップ代数の $\mathrm{HH}^*(B)$ 上のカップ積構造を計算する。
• Kaygunのクロス積代数 $\Gamma = A^e \rtimes H$ と $\mathcal{D}$ の間に同型 $\Gamma \cong \mathcal{D}$ を確立し、写像 $ah_1 \otimes S(h_2)b \mapsto a \otimes b \otimes h$ を用いる。
• $H$ が半単純であるとき、$\mathcal{D}$-分解と射影性を用いて $\mathrm{HH}^*_{\text{Hopf}}(A,M) \cong \mathrm{HH}^*(A\#H,M)$ を適用する。
• 生成元が $\mathrm{HH}^*(A)^G$ と $Z(B)$ であることを示すことで、$B = A\#kG$ の $\mathrm{HH}^*(B)$ の環構造を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $H$ が双対反自己同型を持つとき、$\mathcal{D}$-加群としてのスモーズ積 $A\#H$ のホッジ・コホモロジーはどのように分解されるか？
• RQ2 $\mathcal{D}$-コチェーンを用いたとき、$\mathrm{HH}^*(A\#H)$ の明示的な環構造、特にカップ積はどのように記述されるか？
• RQ3 ホップ代数 $A$ が $H$-加群代数であるとき、$H$ が半単純であれば、カイグンのホップ・ホッジ・コホモロジーは $A\#H$ のホッジ・コホモロジーと一致するか？
• RQ4 ランク1ホップ代数 $B = A\#kG$ に対して、$\mathrm{HH}^*(B)$ の完全な次数付き環構造は何か？ そして、どのように生成されるか？
• RQ5 コチェーンレベルで、$\mathcal{D}$-分解を用いて $\mathrm{HH}^*(A\#H)$ 上のカップ積を明示的に記述できるか？

主な発見

• 任意の $A\#H$-両側 $M$ に対して、ホッジ・コホモロジー $\mathrm{HH}^*(A\#H, M)$ は $\mathrm{Ext}^*_{\mathcal{D}}(A, M)$ に同型であり、スモーズ積のための新しいコホモロジー枠組みを提供する。
• ランク1ホップ代数 $B = A\#kG$ に対して、環 $\mathrm{HH}^*(B)$ は $G$-不変部分環 $\mathrm{HH}^*(A)^G$ と中心 $Z(B) \cong \mathrm{HH}^0(B)$ によって生成される。
• カップ積 $\mathrm{HH}^*(B)$ は、コチェーンレベルで次の式により明示的に記述される：$(f \smile f')(a_0 \otimes \cdots \otimes a_{l+m+1}) = f(a_0 \otimes \cdots \otimes a_l \otimes 1) f'(1 \otimes a_{l+1} \otimes \cdots \otimes a_{l+m+1})$。
• $H$ が半単純であるとき、$\mathrm{HH}^*(A\#H) \cong \mathrm{HH}^*(A, A\#H)^H$ が成り立ち、コホモロジーが $\mathrm{HH}^*(A, A\#H)$ の $H$-不変部分に同型であることを示す。
• カイグンが導入した代数 $\Gamma = A^e \rtimes H$ は $\mathcal{D} \subset (A\#H)^e$ と同型であり、$H$ が半単純のとき $\mathrm{HH}^*_{\text{Hopf}}(A,M) \cong \mathrm{HH}^*(A\#H,M)$ が成り立つ。
• $\Gamma \cong \mathcal{D}$ の同型は写像 $ah_1 \otimes S(h_2)b \mapsto a \otimes b \otimes h$ で与えられ、これはコホモロジー構造を保存する代数同型である。