[論文レビュー] Hochschild cohomology of triangular matrix algebras

Jorge A. Guccione, Juan J. Guccione|ArXiv.org|Apr 5, 2001

Advanced Topics in Algebra参考文献 1被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、三角行列代数 $E = \begin{smallmatrix} A & M \\ 0 & B \end{smallmatrix}$ のホッジィッヒ・コhomology が、その成分 $A$、$B$、および双モジュール $M$ のそれらと関連する2つの長い完全系列を確立する。相対的射影的分解を用いて、$E$ のコホモロジーが $A \otimes B^{\text{op}}$ および $E \otimes B^{\text{op}}$ における Ext 群を含む完全系列に適合することを証明し、従来の結果を任意の可換ベース環に一般化し、三角代数のホッジィッヒ・コホモロジーを計算する基盤的ツールを提供する。

ABSTRACT

We prove the existence of two long exact sequences relating the Hochschild cohomology of a triangular matrix algebra with the Hochschild homology of its component subalgebras. We also study the structure of the maps of the first sequence.

研究の動機と目的

• 三角行列代数 $E = \begin{smallmatrix} A & M \\ 0 & B \end{smallmatrix}$ のホッジィッヒ・コホモロジーが $A$、$B$、および双モジュール $M$ のそれらと関連する長い完全系列を確立すること。
• ベース環 $k$ に制限を課さないよう一般化し、$k$ が単位元を持つ可換環であることを仮定するだけでよいように、従来のホッジィッヒ・コホモロジーに関する結果を拡張すること。
• 高度なホモロジー代数的道具を避けて、$E$ の単純な相対的射影的分解を用いた初等的証明を提供すること。
• ホモロジーの設定に拡張し、Tor 群を用いて同様の完全系列をホモロジーに対しても得ること。
• 完全系列内の写像と整合するように、$\operatorname{H}^*(E,E)$、$\operatorname{H}^*(A,A)$、$\operatorname{H}^*(B,B)$ のカップ積構造が、それぞれの代数的構造を保存することを示すこと。

提案手法

• 著者たちは、$E$ を $E$-双モジュールとしての相対的射影的分解を構成し、標準的複体を用いてホッジィッヒ・コホモロジーを計算する。
• ホッジィッヒ複体と $A$ と $B$ のテンソル積複体との間の関係を確立するためのチェーン写像 $\gamma_n$ を定義する。これにより完全系列の構成が可能になる。
• 最初の長い完全系列は、$A \otimes B^{\text{op}}$-加群の $k$-分裂な全射に関して相対的な Ext 群 $\operatorname{Ext}^*_{A \otimes B^{\text{op}}, k}(M, X_{AB})$ を用いて構成される。
• 第二の完全系列は、$E \otimes B^{\text{op}}$-加群の $k$-分裂な全射に関して相対的な Ext 群 $\operatorname{Ext}^*_{E \otimes B^{\text{op}}, k}(B_E, X1_B)$ を用いる。ここで $B_E$ は、商写像 $\pi: E \to B$ を通じて $E$-双モジュールとして見た $B$ を表す。
• $\operatorname{H}^*(E,E)$、$\operatorname{H}^*(A,A)$、$\operatorname{H}^*(B,B)$ のカップ積構造が完全系列内の写像と整合することを示し、写像が代数準同型であることを保証する。
• ホモロジーの類似（定理1'および2'）は、$k$-分裂な全射に関して相対的な Tor 群を用いて得られ、コホモロジーの場合と同様の構造を再現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三角行列代数 $E = \begin{smallmatrix} A & M \\ 0 & B \end{smallmatrix}$ のホッジィッヒ・コホモロジーは、その成分 $A$、$B$、および双モジュール $M$ のコホモロジーとどのように関連づけられるか？
• RQ2 ホッジィッヒ・コホモロジー $\operatorname{H}^*(E,X)$ が $\operatorname{H}^*(A,X_{AA})$、$\operatorname{H}^*(B,X_{BB})$、および $\operatorname{Ext}^*_{A \otimes B^{\text{op}}, k}(M,X_{AB})$ と関連する長い完全系列を構成できるか？
• RQ3 カップ積構造 $\operatorname{H}^*(E,E)$ が完全系列内の写像とどのように整合するか？
• RQ4 コホモロジーの結果はホモロジーの設定にどのように拡張され、Tor 群は果たす役割は何か？
• RQ5 写像 $\operatorname{H}^*(E,E) \to \operatorname{H}^*(A,A) \oplus \operatorname{H}^*(B,B)$ が環準同型となる条件は何か？

主な発見

• 本稿は、任意の可換環 $k$ に対して有効な、$\operatorname{H}^*(E,X)$ と $\operatorname{H}^*(A,X_{AA}) \oplus \operatorname{H}^*(B,X_{BB})$ および $\operatorname{Ext}^*_{A \otimes B^{\text{op}}, k}(M,X_{AB})$ を関連付ける長い完全系列を構成する。
• 第二の長い完全系列は、$\operatorname{H}^*(E,X)$ と $\operatorname{H}^*(A,X_{AA})$ および $\operatorname{Ext}^*_{E \otimes B^{\text{op}}, k}(B_E, X1_B)$ を関連付ける。ここで $B_E$ は、商写像 $\pi: E \to B$ を通じて $E$-双モジュールとして見た $B$ を表す。
• $j^*: \operatorname{H}^*(E,E) \to \operatorname{H}^*(A,A) \oplus \operatorname{H}^*(B,B)$ は、コチェインの制限によって誘導される、次数付き環準同型であることが示された。
• $\phi^* = \widetilde{\gamma}^* \circ \widetilde{\delta}^*$ は、$\operatorname{H}^*(B,B) \to \operatorname{Ext}^*_{A \otimes B^{\text{op}}, k}(M,M)$ に誘導する写像であり、カップ積を尊重する。また、ある部分複体の像にある $f$ に対して、$gf$ の積は $\operatorname{H}^*(E,E)$ 内で 0 にホモロジー同値である。
• ホモロジー版（定理1'および2'）は、$k$-分裂な全射に関して相対的な Tor 群を用いて確立され、$\operatorname{H}_*(A,X_{AA})$、$\operatorname{H}_*(B,X_{BB})$、および $\operatorname{H}_*(E,X)$ を含む完全系列が得られる。
• 著者たちは、$\operatorname{H}^*(E,E)$ のカップ積が完全系列内の写像と整合することを示し、$gf$ が $(-1)^{rs}fg^\prime$ にホモロジー同値であることを示し、$f$ が特定の部分複体の像にあるとき $[gf] = 0$ であることを示した。