[論文レビュー] Hochschild-Pirashvili homology on suspensions and representations of $Out(F_n)$

Victor Turchin, Thomas Willwacher|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 29被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、懸垂上のホッフシュイルド＝ピラシヴィリホモロジーがホッジ型の分解を備えていることを確立し、これは懸垂写像では保存されるが、一般にはフィルトレーションとしてのみ保存される。この論文は、円のワイヤードのホモロジーから、GL(n,ℤ)を経由しない新しい表現を構成し、その表現には自然なフィルトレーションがあり、その各graded quotient は GL(n,ℤ) を通じて因数分解する。

ABSTRACT

We show that the Hochschild-Pirashvili homology on any suspension admits the so called Hodge splitting. For a map between suspensions $f\colon ΣY o ΣZ$, the induced map in the Hochschild-Pirashvili homology preserves this splitting if $f$ is a suspension. If $f$ is not a suspension, we show that the splitting is preserved only as a filtration. As a special case, we obtain that the Hochschild-Pirashvili homology on wedges of circles produces new representations of $Out(F_n)$ that do not factor in general through $GL(n,Z)$. The obtained representations are naturally filtered in such a way that the action on the graded quotients does factor through $GL(n,Z)$.

研究の動機と目的

• 懸垂上の Hochschild-Pirashvili ホモロジーの代数的構造と、写像によるその挙動を理解すること。
• 高次 Hochschild ホモロジーで観察されたホッジ分解が、懸垂においても保存されるか、およびその条件を調査すること。
• 円のワイヤードのホモロジーから、GL(n,ℤ) を経由しない Out(Fₙ) 表現を構成すること。
• これらの表現のフィルトレーション構造を分析し、作用がgraded quotient にどのように降下するかを調べること。
• 有理ホモトピー論が、写像が懸垂でない場合にホモロジーに誘導される写像を決定する役割を明確にすること。

提案手法

• コンイリプトな dg ココミュタティブ・コボルダの圏におけるホモトピー的ベース・チェンジを介して、ホッフシュイルド＝ピラシヴィリホモロジーを完成化された Chevalley コンプレックスとして解釈するため、バー–コールバー随伴を用いる。
• dg リー代数とコンイリプトなココミュタティブ dg コボルダの間の随伴を適用し、ホモロジー計算をリー理論的枠組みに翻訳する。
• 空間のリー代数と代数の増幅イデアルを含む完成化テンソル積コンプレックスとして Hochschild-Pirashvili ホモロジーを構成する。
• Chevalley コンプレックス上の次数フィルトレーションを分析し、コアクティオンとリー括弧構造を介して項を同定することで、ホッジ分解を活用する。
• 有理ホモトピー論を用いて、写像が懸垂でない場合のホモロジーへの誘導写像を記述し、これはフィルトレーションを保存するが分解を保存はしないことを示す。
• 円のワイヤードのケースを研究し、そのホモロジーを n 個の生成元上の自由リー代数と同一視し、ホモロジー複体への誘導写像を通じて得られる Out(Fₙ)-作用を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 懸垂上の Hochschild-Pirashvili ホモロジーはホッジ型の分解を備えているか。もしそうなら、どのような条件下でか？
• RQ2 写像が懸垂であるか否かにかかわらず、懸垂間の写像が誘導する Hochschild-Pirashvili ホモロジーへの写像が、ホッジ分解に対してどのように作用するか？
• RQ3 n 個の円のワイヤードのホモロジーを用いて、GL(n,ℤ) を経由しない Out(Fₙ) 表現を構成できるか？
• RQ4 これらの表現のフィルトレーション構造はどのようなものか。Out(Fₙ) の作用は、graded quotient にどのように降下するか？
• RQ5 写像が懸垂でない場合、その有理ホモトピー型が Hochschild-Pirashvili ホモロジーへの誘導写像をどの程度決定するか？

主な発見

• 任意の懸垂上の Hochschild-Pirashvili ホモロジーはホッジ分解を備え、その項は懸垂の削除ホモロジーに多項式的に依存する。
• 懸垂間の写像が懸垂である場合、誘導写像は Hochschild-Pirashvili ホモロジー上でホッジ分解を保存し、削除ホモロジーへの誘導写像によって決定される。
• 写像が懸垂でない場合、ホッジ分解はフィルトレーションとしてのみ保存され、層間の誘導写像は写像の有理ホモトピー型によって決定される。
• n 個の円のワイヤードのホモロジーから、GL(n,ℤ) を経由しない新しい Out(Fₙ) 表現が得られ、これは既知で最小のものである。
• この表現は自然にフィルトレーションを備え、各graded quotient における作用が GL(n,ℤ) を通じて因数分解されることから、より深い代数的構造が明らかになる。
• Hochschild-Pirashvili ホモロジー関手は、バー–コールバー随伴に沿ったホモトピー的ベース・チェンジとして代数的に解釈され、構成の概念的かつ計算的枠組みを提供する。