[論文レビュー] Hodge and Prym tau functions, Jenkins-Strebel differentials and combinatorial model of $\mathcal M_{g,n}$

Marco Bertola, D. Korotkin|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 30被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ジェーソン＝ストレベル微分から導かれるホッジおよびプリムのタウ関数を用いて、組合せ的モジュライ空間 $\mathcal{M}_{g,n}$ 上の線束の明示的切断を構成する。これらのタウ関数の位相の、codimension-2 サブコンプレックスまわりのモノドロミーを解析することにより、チャーン類のポアンカレ双対を、ウィッテンのサイクル $W_5$ とコンツェビッチの境界 $W_{1,1}$ の組み合わせとして同定し、ムーディおよびペナーの関係式の組合せ的類似を提供する。

ABSTRACT

The principal goal of the paper is to apply the approach inspired by the theory of integrable systems to construct explicit sections of line bundles over the combinatorial model of the moduli space of pointed Riemann surfaces based on Jenkins-Strebel differentials. The line bundles are tensor products of the determinants of the Hodge or Prym vector bundles with the standard tautological line bundles $\mathcal L_j$ and the sections are constructed in terms of tau functions. The combinatorial model is interpreted as the real slice of a complex analytic moduli space of quadratic differentials where the phase of each tau-function provides a section of a circle bundle. The phase of the ratio of the Prym and Hodge tau functions gives a section of the $κ_1$-circle bundle. By evaluating the increment of the phase around co-dimension $2$ sub-complexes, we identify the Poincaré\ dual cycles to the Chern classes of the corresponding line bundles: they are expressed explicitly as combination of Witten's cycle $W_5$ and Kontsevich's boundary. This provides combinatorial analogues of Mumford's relations on $\mathcal M_{g,n}$ and Penner's relations in the hyperbolic combinatorial model. The free homotopy classes of loops around $W_5$ are interpreted as pentagon moves while those of loops around Kontsevich's boundary as combinatorial Dehn twists. Throughout the paper we exploit the classical description of the combinatorial model in terms of Jenkins--Strebel differentials, parametrized in terms of {\it homological coordinates}; we also show that they provide Darboux coordinates for the symplectic structure introduced by Kontsevich. We also express the latter in clear geometric terms as the intersection pairing in the odd homology of the canonical double cover.

研究の動機と目的

• 組合せ的モデル $\\mathcal{M}_{g,n}$ 上の線束の明示的切断を、可積分系から得られるタウ関数を用いて構成すること。
• ホッジおよびプリムのタウ関数の位相を円分岐体の切断として解釈し、それらをタウトロジカルクラスと関連付けること。
• モノドロミー解析を用いて、$\lambda$、$\lambda_P$、および $\kappa_1$ の類のポアンカレ双対サイクルを組合せ的モデル内で同定すること。
• ジェーソン＝ストレベル微分の文脈において、ムーディおよびペナーの関係式の組合せ的類似を確立すること。
• 五角形移動やデーンねじりといった位相的演算子を、$W_5$ および $W_{1,1}$ のまわりの位相のモノドロミー作用として解釈すること。

提案手法

• ジェーソン＝ストレベル微分を用いて、周期座標による組合せ的モデル $\mathcal{M}_{g,n}[\mathbf{p}]$ のパrametrization を行う。
• $\mathcal{Q}_{g,n}^{\mathbf{k},\mathbf{l}}$ 上の正則な二次微分形式の空間に、ホッジ ($\tau_+$) およびプリム ($\tau_-$) のタウ関数を定義する。
• 等モノドロミー変形の理論を適用し、$\tau_\pm$ の微分方程式を導出し、そのモノドロミーを解析する。
• $\tau_\pm$ の位相を円分岐体の切断として同定し、codimension-2 の部分複体まわりのモノドロミーがポアンカレ双対を生じることを示す。
• コンツェビッチのシンプレクティック形式を周期積分として表現し、それが二重被覆の奇数ホモロジー上の交差積と一致することを示す。
• ダーボウ座標（ホモロジー座標）を用いてシンプレクティック構造を実現し、組合せ的モデルと関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジェーソン＝ストレベルモデルにおける $\psi_i$-類の組合せ的サイクルとしてのポアンカレ双対は何か？
• RQ2 コンツェビッチの境界 $W_{1,1}$ は、どのように補完されれば、デリーニュ＝ムーディのコンパクト化 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ との一対一対応が得られるか？
• RQ3 すべての $\lambda$-類は、$\kappa$-類の関係式に依存せずに、JS 組合せ的モデル内のサイクルとして直接表現可能か？
• RQ4 平坦な組合せ的モデルのみを用いて、線形ホッジ積分のKP階層生成関数を自己完備的に導出可能か？
• RQ5 五角形移動および組合せ的デーンねじりは、$W_5$ および $W_{1,1}$ のまわりの $\tau_\pm$ の位相のモノドロミーとどのように対応するか？

主な発見

• ホッジ類 $\lambda + \frac{1}{12}\sum \psi_i$ のポアンカレ双対は、$\mathrm{Pic}(\overline{\mathcal{M}}_{g,n}[\mathbf{p}], \mathbb{Q})$ 内で $\frac{1}{144}W_5 + \frac{13}{144}W_{1,1}$ に等しい。
• プリム類 $\lambda_P + \frac{1}{12}\sum \psi_i$ のポアンカレ双対は $\frac{13}{144}W_5 + \frac{25}{144}W_{1,1}$ に等しく、プリム類関係式の組合せ的類似を提供する。
• $\kappa_1$-類は $12\kappa_1 = W_5 + W_{1,1}$ を満たし、組合せ的モデルにおける既知の関係式の新たな証明を提供する。
• $\Theta_- / \Theta_+ = \left( \tau_- / |\tau_-| \right)^{48} / \left( \tau_+ / |\tau_+| \right)^{48}$ は、$48$ 重円分岐体 $S[(\chi_\kappa)^{48}]$ の切断を与える。
• $\Phi_+$（$\tau_+$ の位相）の $W_5$ のまわりのモノドロミーは五角形移動に対応し、$W_{1,1}$ のまわりのモノドロミーは組合せ的デーンねじりに対応する。
• $\Phi_-$（$\tau_-$ の位相）の $W_5$ および $W_{1,1}$ のまわりのモノドロミーは、同じ位相的解釈を確認し、これらのサイクルの幾何的役割を裏付ける。