[論文レビュー] Hodge-index type inequalities, hyperbolic polynomials and complex Hessian equations

Jian Xiao|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 7被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、Gårdingの双曲多項式理論と複素ヘッシアン方程式の可解性を用いて、コンパクト・カーラー多様体上の$(1,1)$-類に対して一般化されたホッジ指数型定理を確立する。混合極化によって定義される二次形式が、あるクラスが退化的または特定の方向に負である場合でさえも、原始的部分空間上で負定値であることを証明し、古典的ホッジ指数定理をカーラー正定性を超えて拡張する。

ABSTRACT

It is noted that using complex Hessian equations and the concavity inequalities for elementary symmetric polynomials implies a generalized form of Hodge index inequality. Inspired by this result, using Gårding's theory for hyperbolic polynomials, we obtain a mixed Hodge-index type theorem for classes of type $(1,1)$. The new feature is that this Hodge-index type theorem holds with respect to mixed polarizations in which some satisfy particular positivity condition, but could be degenerate and even negative along some directions.

研究の動機と目的

• 曲率類の正定性仮定を弱めることで、古典的ホッジ指数定理をカーラー計量を超えて拡張すること。
• 双曲多項式理論を用いて、$m$-正定性条件の下で混合ホッジ指数型定理を確立すること。
• 複素ヘッシアン方程式、初等対称多項式の凹性、ホッジ的不等式を統一すること。
• コファンスキー＝タイッサーおよびアレクサンドロフ＝フェンケル型不等式を$m$-正定類へ一般化すること。
• $dd^c$-方程式、ラプラシアンの可解性、コhomology形式の符号性の関係を明らかにすること。

提案手法

• Gårdingの双曲多項式理論を応用し、コhomology類に対する符号不等式を導出する。
• 複素ヘッシアン方程式（$dd^c$-方程式の一種）の可解性を用いて、グローバルなコhomology的問題を局所的解析に還元する。
• 混合極化 $\omega^{n-m} \cdot \Omega \cdot \alpha_{m-1}$ を用いて原始的部分空間 $P^{1,1}(X,\mathbb{C})$ を定義する。ここで $\Omega = \alpha_1 \cdots \alpha_{m-2}$ である。
• 二次形式 $Q(\beta,\gamma) = \beta \cdot \overline{\gamma} \cdot \Omega \cdot \omega^{n-m}$ を定義し、それが原始空間上で負定値であることを証明する。
• 対称多項式の対数凹性および初等対称関数の性質を用いて、コファンスキー＝タイッサー型不等式を導出する。
• $L^2$-法および$dd^c$-方程式の可解性に依拠し、コhomologyにおける単射性および分解定理を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正定性が$m$-正定性に弱められた場合に、古典的ホッジ指数定理を一般化できるか？
• RQ2 双曲多項式と複素ヘッシアン方程式がどのように作用し合い、新たなコhomological符号不等式を導くか？
• RQ3 退化的または負の方向を含む混合極化条件下で、ホッジ＝リーマン双一次関係をどの程度まで拡張できるか？
• RQ4 一般化されたホッジ指数不等式を示すために、混合ヘッシアン方程式の可解性が役立つのか？
• RQ5 交差数の対数凹性は、ホッジ指数不等式と同一の枠組みから導出可能か？

主な発見

• 二次形式 $Q(\beta,\gamma) = \beta \cdot \overline{\gamma} \cdot \Omega \cdot \omega^{n-m}$ は、$\omega^{n-m} \cdot \Omega \cdot \alpha_{m-1} \cdot \gamma = 0$ で定義される原始的部分空間 $P^{1,1}(X,\mathbb{C})$ 上で負定値である。
• 空間 $H^{1,1}(X,\mathbb{C})$ は、直接和 $P^{1,1}(X,\mathbb{C}) \oplus \mathbb{C}\alpha_{m-1}$ に分解され、古典的ホッジ分解を一般化する。
• 与えられた$m$-正定性条件下で、写像 $\omega^{n-m} \cdot \Omega: H^{1,1}(X,\mathbb{C}) \to H^{n-1,n-1}(X,\mathbb{C})$ は単射である。
• 多項式 $Q(\beta) = \beta^2 \cdot \Omega \cdot \omega^{n-m}$ は $H^{1,1}(X,\mathbb{R})$ 上で完全かつ双曲的であり、交差数の対数凹性を示唆する。
• 列 $a_k = \alpha^k \cdot \beta^{m-k} \cdot \omega^{n-m}$ は、$m$-正定類 $\alpha, \beta$ に対して対数凹性を示し、$a_k^2 \geq a_{k+1}a_{k-1}$ の等号成立は $\alpha$ と $\beta$ が比例する場合に限る。
• 証明で用いられたラプラシアン方程式は、[DN06]で用いられた$dd^c$-方程式の特別な場合であり、PDEの可解性とコhomological符号性を結びつける。