[論文レビュー] Hodge Integrals and Integrable Hierarchies

Jian Zhou|ArXiv.org|Oct 26, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、1分割Hッジ積分の生成関数がKP階層のτ関数であることを確立している。一方、2分割Hッジ積分は2-Toda階層のτ関数に対応する。フェルミオン的フォック空間形式とシュール関数・モジュラー行列に関する組合せ的恒等式を用いて、真空期待値を通じてこれらの関係を証明し、トーリックFano多様体上の相対不変量への一般化を含む。

ABSTRACT

We show that the generating series of some Hodge integrals involving one or two partitions are tau-functions of the KP hierarchy or the 2-Toda hierarchy respectively. We also formulate a conjecture on the connection between relative invariants and integrable hierarchies. The conjecture is verified in some examples.

研究の動機と目的

• 1つまたは2つの分割を含むHッジ積分と可積分階層（KPおよび2-Toda）との明確な関係を確立すること。
• フェルミオン的フォック空間およびシュール関数を用いて、1分割Hッジ積分の生成関数がKP階層のτ関数であることを示すこと。
• 2分割Hッジ積分が、頂点演算子の真空期待値を通じて2-Toda階層のτ関数の系列を生じることを示すこと。
• トーリックFano多様体上の相対不変量と可積分階層との関係を示す予想を提示・検証すること。
• 組合せ的恒等式および表現論を通じて、位相的再帰、Hッジ積分、可積分系を統一的に結びつけるフレームワークを提供すること。

提案手法

• Hッジ積分を演算子の真空期待値として表現するために、京学派のフェルミオン的フォック空間形式を用いる。
• 1分割および2分割Hッジ積分を、シュール関数およびスケュー・シュール関数を用いて組合せ的に表現する。
• フォック空間の電荷分解を用いて、Hッジ積分とKP階層および2-Toda階層のτ関数との関係を結ぶ。
• 生成関数をモデル化するために、$ Y_{/pm}(x) $ および $ q $-指数関数を含む頂点演算子構成を用いる。
• 局所化技法と[9, 10, 11]の既知の公式を適用して、$ K_{g,\nu^+, u^-} $ および $ \mathcal{W}_{\nu^+\nu^-} $ に関する恒等式を検証する。
• 変換 $ \tau_n = q^{n(4n^2-1)/12} K^\bullet(\lambda; p(q^n x^+), p(q^n x^-)) $ を導出し、2-Toda階層構造を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1分割Hッジ積分の生成関数はKP階層のτ関数か？
• RQ2 2分割Hッジ積分は2-Toda階層のτ関数の系列を生じるか？
• RQ3 トーリックFano多様体上の相対不変量（トーリック除数に関して）は可積分階層と関連づけられるか？
• RQ4 カットアンドジョイン方程式と可積分階層との間の本質的関係は何か？
• RQ5 チャーン＝サイモンズ不変量およびモジュラー行列を含む組合せ的公式は、可積分系におけるτ関数とどのように関係するか？

主な発見

• 1分割Hッジ積分の生成関数は、フェルミオン的フォック空間における真空期待値を用いてKP階層のτ関数であることが証明された。
• 2分割Hッジ積分の生成関数は、明示的な変換 $ \tau_n = q^{n(4n^2-1)/12} K^\bullet(\lambda; p(q^n x^+), p(q^n x^-)) $ を通じて2-Toda階層のτ関数の系列を形成する。
• トーリックFano多様体上の相対不変量 $ K_{g,\mu^+\mu^-} $ は、$ \sum_{\nu^\pm} \frac{\chi_{\nu^+}(C_{\mu^+})}{z_{\mu^+}} \mathcal{W}_{\nu^+\nu^-} \frac{\chi_{\nu^-}(C_{\mu^-})}{z_{\mu^-}} $ として表現され、シュール関数および頂点演算子と結びつけられる。
• 生成関数 $ K^\bullet(\lambda; p(x^+), p(x^-)) $ が真空期待値 $ \langle 0|Y_+(x^+)q^KY_-(-q^{1/2},-q^{3/2},\dots)Y_+(-q^{1/2},-q^{3/2},\dots)q^KY_-(x^-)|0\rangle $ に等しいことが示され、2-Toda階層におけるその役割が確認された。
• トーリックFano多様体上の相対不変量が1つまたは2つのトーリック除数に関してKPおよび2-Todaのτ関数を生じるという予想は、特定の例で検証された。
• 本研究は、可積分階層構造からウィッテンの予想／コンツェビッチの定理を再導出するためのフレームワークを提供しているが、これは今後の課題として残されている。