[論文レビュー] Hodge loci and atypical intersections: conjectures

Bruno Klingler|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 31被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、混合ホッジ構造の変動に関するZilber-PinkおよびAndré-Oort予想を一般化する仮説的枠組みを提案し、ホッジ多様体、非典型的部分多様体、弱く特別な部分多様体の概念を導入する。また、混合${\mathbb{Z}}$-ホッジ構造に対する関数的超越原理（Ax-Schanuel）を確立し、これらを双代数幾何と結びつけることで、混合ホッジ多様体における特別な部分多様体の分布を統一的に理解するアプローチを提供する。

ABSTRACT

We present a conjecture on the geometry of the Hodge locus of a (graded polarizable, admissible) variation of mixed Hodge structure over a complex smooth quasi-projective base, generalizing to this context the Zilber-Pink Conjecture for mixed Shimura varieties (in particular the André-Oort conjecture).

研究の動機と目的

• 滑らかで準射影的な基底上での混合ホッジ構造の変動に対する一般化されたZilber-Pink予想を定式化すること。
• 混合ホッジ構造の文脈においてホッジ多様体の定義とそのザリスキ閉包の幾何を定義し、研究すること。
• 混合ホッジ多様体における非典型的および弱く特別な部分多様体の概念を導入し、それらを周期写像とムーディング・トレイト群に関連付けること。
• ${\mathbb{Z}}$-混合ホッジ構造の変動に対する関数的超越予想（Ax-Schanuel）を確立すること。
• 混合ホッジ理論における特別な部分多様体の研究を双代数幾何と周期写像の力学と統合すること。

提案手法

• 混合ホッジ構造のタンナキアン形式を用いてムーディング・トレイト群とホッジテンソルを定義し、ホッジ一般点を特徴付ける。
• 変動混合ホッジ構造（VMHS）の理論を適用し、ホッジ多様体を非最大のムーディング・トレイト群を持つ点の集合として定義する。
• 連結な混合ホッジ多様体間のホッジ準同型と周期写像を通じて、弱く特別な部分多様体の概念を導入する。
• 発展写像とホロノミー表現を用いて、基底多様体の普遍被覆上に双代数構造を定義する。
• 普遍被覆内の代数的部分多様体の次元とその弱く特別なザリスキ閉包の次元との関係を示すAx-Schanuel型の予想を提示する。
• 基底における代数的部分多様体と混合ホッジ多様体内の部分多様体を結ぶために周期写像$\Phi_S: S \to \mathrm{Hod}^0(S,\mathbb{V})$を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 混合ホッジ構造の変動におけるホッジ多様体のザリスキ閉包に課される幾何的制約は何か？
• RQ2 ホッジ多様体が基底多様体においてザリスキ稠密になるのはいつか？
• RQ3 ホッジ余次元とムーディング・トレイト群の振る舞いの観点から、最適でない（すなわち非典型的な）基底の部分多様体をどのように特徴づけられるか？
• RQ4 混合ホッジ構造における周期写像の代数的関係を支配する関数的超越原理は何か？
• RQ5 混合ホッジ多様体における弱く特別な部分多様体が、どのように基底における双代数的部分多様体に引き戻されるか？

主な発見

• ホッジ多様体$\mathrm{HL}(S,\mathbb{V})$は、古典的結果（Cattani-Deligne-Kaplan）を混合ホッジ構造に一般化した、閉じた既約代数的部分多様体の可算個の和集合である。
• ホッジ多様体のザリスキ閉包は、特別な部分多様体と弱く特別な部分多様体の幾何的性質によって制約を受けており、ムーディング・トレイト群が周囲の幾何と比べて大きすぎる場合に非典型的部分多様体が生じる。
• 本稿では、ホッジ準同型の像として得られる弱く特別な部分多様体の概念を導入し、これは特別な部分多様体を一般化し、混合設定におけるCM点を含む。
• ${\mathbb{Z}}$-VMHSに対するAx-Schanuel予想を提示し、普遍被覆内の代数的部分多様体のホッジ余次元が、その弱く特別なザリスキ閉包の次元によって下から抑えられるとする。
• ${\mathbb{Z}}$-VMHSを備えた基底多様体$S$の双代数的部分多様体は、ちょうど弱く特別な部分多様体であることが示され、ホッジ理論と双代数幾何の深い関係が確立される。
• この予想は、CM点が有界次元の特別な部分多様体にのみザリスキ稠密になる混合ホッジ構造における一般化されたAndré-Oort予想を含意する。