[論文レビュー] Hodograph Method and Numerical Integration of Two Hyperbolic Quasilinear Equations. Part I. The Shallow Water Equations

E. V. Shiryaeva, M. Yu. Zhukov|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2014

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、保存則と明示的なリーマン–グリーン関数を用いて、元のコーシー問題を常微分方程式（ODE）の系に変換することで、浅水域方程式を含む2つの双曲型準線形方程式を解く、ホドグラフに基づく数値手法を提示する。この手法により、近似を伴わず高精度な数値積分が可能となり、多値解の構築と波の破壊現象の高精度な捉え込みが可能となる。

ABSTRACT

In paper [S.I. Senashov, A. Yakhno. 2012. SIGMA. Vol.8. 071] the variant of the hodograph method based on the conservation laws for two hyperbolic quasilinear equations of the first order is described. Using these results we propose a method which allows to reduce the Cauchy problem for the two quasilinear PDE's to the Cauchy problem for ODE's. The proposed method is actually some similar method of characteristics for a system of two hyperbolic quasilinear equations. The method can be used effectively in all cases, when the linear hyperbolic equation in partial derivatives of the second order with variable coefficients, resulting from the application of the hodograph method, has an explicit expression for the Riemann-Green function. One of the method's features is the possibility to construct a multi-valued solutions. In this paper we present examples of method application for solving the classical shallow water equations.

研究の動機と目的

• 近似を伴わず保存則を活用して双曲型準線形PDEを解く数値手法の開発。
• 波の破壊を伴う問題に対して、多値解の構築を可能とする。
• 有限差分法や有限体積法の代替手段として、PDE系をODEのコーシー問題に還元することを目的とする。
• 周期的初期条件を用いた古典的浅水域方程式に対して、手法の妥当性を検証する。
• 波の破壊やドロップレットの形成を含む複雑な波動ダイナミクスの捉え込みにおける手法の有効性を示す。

提案手法

• リーマン不変量を用いた2階双曲型準線形1階PDEの2つにホドグラフ法を適用し、保存則を用いて2階線形双曲型PDEを導出する。
• 陰解法による解表現を可能とするために、導出された2階PDEのリーマン–グリーン関数の明示的解析的表現が必須である。
• 元のPDEのコーシー問題をホドグラフ変数におけるODEの系に再定式化し、数値的に解く。
• 特性速度と保存則から導かれるフラックス密度を用い、境界条件は特性上に指定する。
• ODEの数値解法にはルンゲ＝クッタ法などの標準的手法を用い、非線形超越方程式を直接解く必要がなくなる。
• 周期的初期データを用いた浅水域方程式に対して手法を検証し、複数の時間ステップでの結果を可視化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホドグラフ法は、双曲型準線形PDE系を数値積分可能なODE系に効果的に変換できるか？
• RQ2 この手法は、浅水域流れにおける波の破壊と多値解をどれほど正確に捉えることができるか？
• RQ3 陰解法から得られる非線形超越方程式を直接解くのと比較して、ODEを解くことによる計算上の利点は何か？
• RQ4 気体力学やソリトン方程式のような、既知のリーマン–グリーン関数を有する他の双曲型系へもこの手法を適用可能か？
• RQ5 周期的初期条件の長時間にわたる進化をシミュレートする際、この手法はどの程度の性能を示すか？

主な発見

• 手法により浅水域方程式がODEのコーシー問題に正確に変換され、近似を伴わず高精度な数値積分が可能となった。
• t = 5.855の時点で波の破壊が明確に観察され、不連続性の捉え込み能力が裏付けられた。
• t = 7.633およびt = 8.008の時点で、水面に気泡やドロップレットの形成が視覚的に明確に観察され、複雑な自由表面ダイナミクスの捉え込みが可能であることが示された。
• 超幾何関数および楕円関数の使用により、負の引数に対しても複素数演算または実変数恒等式を用いてリーマン–グリーン関数の高精度な評価が可能となった。
• ODEソルバーは非線形超越方程式を直接解くニュートン型手法よりも、より安定的かつ効率的であるため、直接解法よりも優れた性能を示した。
• 気体力学、ソリトン方程式、およびクロマトグラフィーのモデルなど、明示的なリーマン–グリーン関数を有する他の系に対しても、本手法は一般化可能である。