[論文レビュー] Hodograph Method and Numerical Solution of the Two Hyperbolic Quasilinear Equations. Part III. Two-Beam Reduction of the Dense Soliton Gas Equations

E. V. Shiryaeva, M. Yu. Zhukov|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2015

Nonlinear Waves and Solitons被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、保存則に基づくハンダフォーム法を用いて、密なソリトンガス方程式（ボーン＝インフェルト方程式に同等）の2ビーム還元に対する解析的・数値的解法を提示する。双曲型準線形偏微分方程式を、関連する線形偏微分方程式の明示的リーマン＝グリーン関数を用いて常微分方程式のコーシー問題に変換することで、人工的粘性を用いずに高精度で非近似の数値積分が可能となり、周期的および波パケット初期データに対しても高精度な解が得られる。

ABSTRACT

The paper presents the solutions for the two-beam reduction of the dense soliton gas equations (or Born-Infeld equation) obtained by analytical and numerical methods. The method proposed by the authors is used. This method allows to reduce the Cauchy problem for two hyperbolic quasilinear PDEs to the Cauchy problem for ODEs. In some respect, this method is analogous to the method of characteristics for two hyperbolic equations. The method is effectively applicable in all cases when the explicit expression for the Riemann-Green function for some linear second order PDE, resulting from the use of the hodograph method for the original equations, is known. The numerical results for the two-beam reduction of the dense soliton gas equations, and the shallow water equations (omitting in the previous papers) are presented. For computing we use the different initial data (periodic, wave packet).

研究の動機と目的

• 2ビーム還元された密なソリトンガス方程式に生じる2つの双曲型準線形偏微分方程式のコーシー問題を解くための数値手法を開発すること。
• 保存則に基づくハンダフォーム法を用いて、元の偏微分方程式系を数値的近似を避けて常微分方程式のコーシー問題に還元すること。
• ボーン＝インフェルト方程式に対して、周期的および波パケット初期条件を用いた本手法の有効性を示すこと。ここには、従来省かれてきた浅水域方程式も含む。
• 多値的および不連続解を人工的粘性や数値拡散を導入せずに取り扱うためのフレームワークを提供すること。

提案手法

• ハンダフォーム法により、保存則と関連する線形偏微分方程式の明示的リーマン＝グリーン関数を用いて、元の双曲型準線形偏微分方程式系を常微分方程式系に変換する。
• 解はリーマン不変量 $ R^1, R^2 $ を通じて暗黙的に表現され、時間 $ t(a,b) $ と位置 $ x(a,b) $ は保存則密度 $ \varphi $ の積分によって定義される。
• ラグランジュ変数 $ a, b $ を用い、$ R^1(x,t) = R^1_0(b) $、$ R^2(x,t) = R^2_0(a) $ とし、パラメータ $ \tau $ における常微分方程式を用いて等時刻面 $ t = t_* $ 上の解を再構成する。
• パラメータ $ \tau $ における $ a(\tau), b(\tau), X(\tau) $ のコーシー問題は、偏微分 $ t_a, t_b $ を含む常微分方程式として解かれる。これらの偏微分はリーマン＝グリーン関数と初期データから計算される。
• パラメータ $ \theta $ を用いたパラメトリック簡略化が導入され、常微分方程式が $ \frac{da}{d\theta} = R^2_0(a) - R^1_0(a) $ などに簡略化され、数値的効率が向上する。
• 有限差分法、有限体積法、またはリーマンソルバの近似を一切用いず、解の精度は常微分方程式の数値積分精度にのみ依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 保存則に基づくハンダフォーム法は、密なソリトンガス方程式の2ビーム還元に有効に適用可能か？
• RQ2 2つの双曲型準線形偏微分方程式のコーシー問題を、数値的近似を避けて常微分方程式系に還元する方法は何か？
• RQ3 ボーン＝インフェルト方程式に対して周期的および波パケット初期データを用いた場合、本手法の数値的性質はいかなるものか？
• RQ4 本手法は、人工的粘性や数値拡散を導入せずに解の構造を保持できるか？
• RQ5 本手法は、双曲型系に内在する多値的および不連続解を扱えるか？

主な発見

• ハンダフォーム法により、密なソリトンガス方程式の2ビーム還元が常微分方程式のコーシー問題に成功して還元され、高精度な数値積分が可能となった。
• 元の偏微分方程式が近似されないため、人工的粘性を用いずに高精度な解が得られた。解の精度は常微分方程式の数値積分精度に依存する。
• 周期的および波パケット初期データに対する数値結果は、本手法の強健性と複雑な波構造への適用可能性を示している。
• 等時刻面上の解はパラメータ $ \tau $ における常微分方程式を用いて計算され、$ t_a $ および $ t_b $ はリーマン＝グリーン関数と初期データから導出される。
• パラメータ $ \theta $ を用いたパラメトリック変換により、常微分方程式が簡略化され、計算効率が向上したが、精度は保持された。
• 本手法は、浅水域方程式やボーン＝インフェルト方程式を含む、明示的リーマン＝グリーン関数が存在する任意の偏微分方程式系に広く適用可能である。