[論文レビュー] Hofer-Zehnder semicapacity of cotangent bundles and symplectic submanifolds

Leonardo Macarini|ArXiv.org|Mar 19, 2003

Geometric and Algebraic Topology参考文献 15被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、与えられたホモトピー類 $G \subset \pi_1(M)$ 内の周期軌道に敏感なシンプレクティック不変量であるホーファー＝ツェンダー $G$-半容量を導入する。幾何的に有界なシンプレクティック多様体 $M$ において、自由な円作用を持つ開部分集合 $N \subset M$ は、軌道のホモトピー類で生成される部分群 $G_\varphi$ に関する有界な $G_\varphi$-半容量を持つことが示される。これは、シンプレクティック部分多様体の近傍でほとんどすべてのエネルギー準位にホモトピー的自明な周期軌道が存在することを示し、ジンツブルグとギュレルの結果を一般化する。

ABSTRACT

We introduce the concept of Hofer-Zehnder $G$-semicapacity (or $G$-sensitive Hofer-Zehnder capacity) and prove that given a geometrically bounded symplectic manifold $(M,ω)$ and an open subset $N \subset M$ endowed with a Hamiltonian free circle action $ϕ$ then $N$ has bounded Hofer-Zehnder $G_ϕ$-semicapacity, where $G_ϕ\subset π_1(N)$ is the subgroup generated by the homotopy class of the orbits of $ϕ$. In particular, $N$ has bounded Hofer-Zehnder capacity. We give two types of applications of the main result. Firstly, we prove that the cotangent bundle of a compact manifold endowed with a free circle action has bounded Hofer-Zehnder capacity. In particular, the cotangent bundle $T^*G$ of any compact Lie group $G$ has bounded Hofer-Zehnder capacity. Secondly, we consider Hamiltonian circle actions given by symplectic submanifolds. For instance, we prove the following generalization of a recent result of Ginzburg-Gürel: almost all low levels of a function on a geometrically bounded symplectic manifold carry contractible periodic orbits of the Hamiltonian flow, provided that the function attains its minimum along a closed symplectic submanifold.

研究の動機と目的

• 指定されたホモトピー類 $G \subset \pi_1(M)$ 内の周期軌道に敏感な新しいシンプレクティック不変量、すなわちホーファー＝ツェンダー $G$-半容量を定義し、その性質を調べること。
• 幾何的に有界なシンプレクティック多様体で自由なハミルトニアン円作用をもつ開部分集合に対して、この半容量の有界性を確立すること。
• コンパクトなリー群 $G$ の接バンドル $T^*G$ が有界なホーファー＝ツェンダー容量をもつことを示す応用。
• シンプレクティック部分多様体上で定数となる関数の、ほぼすべての正則エネルギー準位にホモトピー的自明な周期軌道が存在することを証明することで、ジンツブルグとギュレルの結果を一般化すること。

提案手法

• すべてのホモトピー類 $G$ 内の非定数周期軌道が周期 1 より大きいことを要請する、$G$-適切なハミルトニアン類 ${\cal H}_a^G(M,\omega)$ を導入する。
• ハミルトニアン $H$ に対して $G$-適切であるときの $\max H$ の上限を $c_{\mathrm{HZ}}^G(M,\omega)$ と定義し、$G$-感受性ホーファー＝ツェンダー半容量を構成する。
• 適切な almost complex 構造と有界な幾何構造が存在する幾何的に有界なシンプレクティック多様体に理論を適用し、力学的挙動を制御する。
• $\mathbb{Z}_2$-作用による商構成を用いて、$M$ 上の周期軌道を $M/\mathbb{Z}_2$ 上のものと関連づけ、対称性を活用して過過小化軌道の仮定のもとで矛盾を導く。
• 導関数が制御された関数 $f$ を用いた摂動論法により、$H' = f \circ \widehat{H}$ という前適切なハミルトニアンを構成し、半容量の有界性を保つ。
• マクダフとスリモウィッツの過過小化臨界点に関する結果を応用し、短周期軌道の不在を保証し、そのような軌道が存在するならば矛盾を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由な円作用をもつ幾何的に有界なシンプレクティック多様体の開部分集合に対して、ホーファー＝ツェンダー $G$-半容量は有界のままであるか？
• RQ2 ハミルトニアンがシンプレクティック部分多様体上で定数であるとき、その近傍でほとんどすべてのエネルギー準位にホモトピー的自明な周期軌道が存在するといえるか？
• RQ3 $G$-感受性ホーファー＝ツェンダー容量は、標準的容量および過過小化臨界点の存在とどのように関係するか？
• RQ4 対称的ハミルトニアン系における $\mathbb{Z}_2$-商の下での周期軌道の挙動はいかなるものか？
• RQ5 半容量 $c_{\mathrm{HZ}}^G$ の有界性を用いて、特定のホモトピー類における周期軌道の一般的存在を示すことができるか？

主な発見

• 幾何的に有界なシンプレクティック多様体 $M$ において、自由なハミルトニアン円作用をもつ任意の開部分集合 $N \subset M$ に対して、$G = G_\varphi$（軌道のホモトピー類で生成される部分群）に関するホーファー＝ツェンダー $G$-半容量は有界である。
• 任意のコンパクトなリー群 $G$ の接バンドル $T^*G$ は、自由な円作用をもつため、有界なホーファー＝ツェンダー容量をもつ。
• 閉じたシンプレクティック部分多様体 $S$ の近傍で定義された関数 $H$ について、$H|_S$ が定数であれば、ほとんどすべての正則エネルギー準位 $H^{-1}(e)$ にホモトピー的自明な周期軌道が存在する。
• ハミルトニアン $H$ に過過小化臨界点がなければ、その $\mathbb{Z}_2$-対称平均 $\widehat{H}$ に対しても過過小化臨界点は存在しない。
• 導関数の絶対値が $|f'| \leq 1 + 2\delta$ となる関数 $f$ を用いて $H' = f \circ \widehat{H}$ を構成すると、$X_H$ や $X_{H \circ \psi}$ に短周期軌道が存在するならば矛盾が生じるため、半容量の有界性が示される。
• シンプレクティック埋め込みに関して、弱い単調性 $c_{\mathrm{HZ}}^{\psi_*^{-1}H}(N,\tau) \leq c_{\mathrm{HZ}}^H(M,\omega)$ が成り立つ。これは、半容量が引き戻しに関して不変であることを支持する。