[論文レビュー] Holder continuity of solutions to the complex Monge-Ampere equations on compact Kahler manifolds

Phạm Hoàng Hiệp|ArXiv.org|Apr 27, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、コンパクト・カラーマン多様体上の複素モンジュ・アンペール方程式に関する結果の部分的逆を確立している。非負のラドン測度 $\mu$ が一様な成長条件 $\mu(B(z,r)) \leq Ar^{2n-2+\alpha}$ を満たすならば、任意の $f \in L^p(d\mu)$（$p > 1$）に対して、方程式 $\omega_u^n = f d\mu$ はホルダー連続解 $u$ を持つ。この結果は $C^1$ 超曲面によって誘導される測度や重み付き測度へと拡張され、やや弱い測度条件のもとでの解の正則性の鋭い閾値を提供する。

ABSTRACT

We study Hölder continuity of solutions to the Monge-Ampère equations on compact Kähler manifolds. In [DNS] the authors have shown that the measure $ω_u^n$ is moderate if $u$ is Hölder continuous. We prove a theorem which is a partial converse to this result.

研究の動機と目的

• ホルダー連続な副解が中程度のモンジュ・アンペール測度をもたらすという結果の部分的逆を確立すること。
• 複素モンジュ・アンペール方程式 $\omega_u^n = f d\mu$ がホルダー連続解をもつような非負ラドン測度のクラスを特徴付けること。
• 次元が低いハウスドルフ型成長を示す測度、特に $C^1$ 超曲面上の体積測度を含む、正則性結果を拡張すること。
• 弱い測度仮定のもとで複素ポテンシャル論における安定性および容量推定を統一的かつ一般化すること。
• コンパクト・カラーマン多様体上での複素モンジュ・アンペール方程式の解のホルダー連続性を保証する測度 $\mu$ の十分条件を提供すること。

提案手法

• 測度の成長を制御し、$\Cal{H}(\alpha,A)$ 条件と関連付けるために、容量 $C_X$ とアレクサンダー容量 $T_X$ を用いる。
• コロジエの $L^p$-安定性定理とディネウ・チャンの改良版を応用し、モンジュ・アンペール解の安定性推定を適用する。
• 畳み込みと最大関数技法を用いて、測度の成長条件のもとで $\int_K [u_\delta - u] d\mu$ の差に対する重要な推定を確立する。
• 測度が $\mu(B(z,r)) \leq Ar^{2n-2+\alpha}$ を満たす場合の安定性結果を証明し、これにより $\mu \in \Cal{H}(\infty)$ が導かれる。
• ジャンセンの公式とサブハーモニック関数の推定を用いてラプラシアンの成長を制御し、それをホルダー連続性と関連付ける。
• $L^p$ 可積分性を活用した正則化と最大関数との比較による摂動的議論に主問題を還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト・カラーマン多様体上での複素モンジュ・アンペール方程式 $\omega_u^n = f d\mu$ がホルダー連続解 $u$ を持つための測度 $\mu$ に対する条件は何か？
• RQ2 ホルダー連続性が測度の「中程度の性質」をもたらすという結果の逆が、複素モンジュ・アンペール作用素について成り立つか？
• RQ3 非負ラドン測度 $\mu$ の最適な成長率は何か？ これにより、$f \in L^p(d\mu)$（$p > 1$）に対して $\omega_u^n = f d\mu$ の解がホルダー連続となる。
• RQ4 任意の $C^1$ 光滑な超曲面 $S$ 上の体積測度は、解のホルダー正則性の条件を満たすか？
• RQ5 測度が $\mu(B(z,r)) \leq Ar^{2n-2+\alpha}$ のような弱い仮定のもとで、複素ポテンシャル論における安定性推定はどのように振る舞うか？

主な発見

• 任意の $B(z,r) \subset X$ に対して $\mu(B(z,r)) \leq Ar^{2n-2+\alpha}$ を満たす非負ラドン測度 $\mu$ に対して、$\mu \in \Cal{H}(\infty)$ が成り立ち、容量の成長に対する強い制御が得られる。
• $p > 1$ かつ $\int_X f d\mu = 1$ を満たす任意の $f \in L^p(d\mu)$ に対して、方程式 $\omega_u^n = f d\mu$ はホルダー連続な $\omega$-psh 解 $u$ を持つ。そのホルダー指数は $\alpha$、$A$、$p$、および多様体 $X$ に依存する。
• 測度の成長条件のもとで、任意の $\epsilon > 0$ に対して、解 $u$ は指数 $\frac{\alpha - \epsilon}{2(1 + \alpha)}$ のホルダー連続性を示す。
• 系 B は、$\varphi$ がホルダー連続で $f \in L^p(\omega_\varphi \wedge \omega^{n-1})$ であるならば、方程式 $\omega_u^n = f \omega_\varphi \wedge \omega^{n-1}$ がホルダー連続解をもつことを示している。
• 系 C は、任意の $C^1$ 光滑な超曲面 $S$ と $p > 1$ を満たす $f \in L^p(dV_S)$ に対して、方程式 $\omega_u^n = f dV_S$ がホルダー連続解をもつことを確立している。
• 証明は、$\int_K [u_\delta - u] d\mu \leq C \delta^{\frac{\alpha - \epsilon}{2(1 + \alpha)}}$ を制御する安定性推定に依拠しており、最大関数と畳み込み技法を用いて $u$ のホルダー連続性が示される。