[論文レビュー] Holistic discretisation ensures fidelity to dynamics in two spatial dimensions

Tony MacKenzie, A. J. Roberts|ArXiv.org|Apr 6, 2009

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 28被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、重複する有限要素と非局所的結合条件を用いて、微小スケールのプロセスを体系的に解明することにより、元の力学に忠実な2次元反応拡散PDEの包括的離散化手法を提案する。この手法は、中心多様体理論と整合性解析を組み合わせて、漸近的に正確な高次離散モデルを導出し、代数的手法が失敗する領域においても、数値的微小スケール解像度によって高次精度を達成する。

ABSTRACT

Developments in dynamical systems theory provides new support for the discretisation of \pde{}s and other microscale systems. By systematically resolving subgrid microscale dynamics the new approach constructs asymptotically accurate, macroscale closures of discrete models of the \pde. Here we explore reaction-diffusion problems in two spatial dimensions. Centre manifold theory ensures that slow manifold, holistic, discretisations exists, are quickly attractive, and are systematically approximated. Special coupling of the finite elements ensures that the resultant discretisations are consistent with the \pde to as high an order as desired. Computer algebra handles the enormous algebraic details as seen in the specific application to the Ginzburg--Landau equation. However, higher order models in 2D appear to require a mixed numerical and algebraic approach that is also developed. Being driven by the residuals of the equations, the modelling here may be straightforwardly adapted to a wide class of reaction-diffusion differential and lattice equations in multiple space dimensions.

研究の動機と目的

• 2次元反応拡散PDEに対する体系的で、漸近的に正確なマクロスケール離散化を構築し、元のPDEの力学を保持すること。
• 1次元の包括的離散化技術を多次元に拡張する課題に取り組み、特に代数的手法による高次モデルの構築が不可能になる多次元空間における問題を解決すること。
• 微小スケールPDEの力学と離散モデルの整合性を保つために、高次精度を維持する結合条件を導出すること。
• 解析的解が得られない場合に、高次微小スケール場を構築するためのハイブリッド数値的・代数的手法を検討すること。
• 2次元実Ginzburg–Landau方程式をベンチマークとして用い、予測精度と誤差制御の両面で手法の妥当性を検証すること。

提案手法

• 2次元領域を重複する正方形有限要素に分割し、微小スケールのダイナミクスをマルチスケールで解像可能にする。
• パrameter γ を用いて定義される非局所的要素間結合条件 (4)–(5) を適用し、PDEとの整合性を確保するとともに、中心多様体理論への適用を可能にする。
• 中心多様体理論を用いて、正確に閉じた漸近的に正確な離散モデルを提供するスローマニフォールドの存在を正当化する。
• コンピュータ代数を用いて、離散モデルの2次および3次漸近近似を導出し、特に随伴作用素を用いて1次精度を追加で抽出する。
• 高次モデルの構築にあたり、係数の代数的表現を維持する数値的微小スケール場計算手法を導入する。
• 数値的および代数的アプローチを組み合わせ、誤差スケーリング O(h^{2p−2}) を達成する第p次精度の離散モデルを構築し、整合性定理によって検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元PDEに用いられる包括的離散化フレームワークを2次元空間に一般化可能か？ その際、元の力学に忠実な特性を保持できるか？
• RQ2 重複する有限要素間のどの結合条件が、PDEとの整合性と2次元における中心多様体理論の適用可能性を両立させるか？
• RQ3 なぜ純粋な代数的手法では2次元における高次包括的モデルを構築できないのか？ その制限をどのように克服できるか？
• RQ4 低解像度の微小スケール場は、2次元反応拡散系におけるマクロスケールダイナミクスをどの程度正確に予測できるか？
• RQ5 数値的微小スケール解像度と代数的係数表現の組み合わせが、高次で整合性のある離散モデルをどのように可能にするか？

主な発見

• Corollary 5により、相互作用を O(γ^p) まで切り詰めた場合、元のPDEとの誤差が O(h^{2p−2}) となることが保証される。
• 中心多様体理論により、指数的に速い吸引性を持つスローマニフォールドの存在が保証され、離散モデルの精度の理論的基盤が得られる。
• 結合要素上での拡散作用素の随伴作用素を用いることで、1次精度を追加で抽出でき、Ginzburg–Landau方程式に対して3次離散モデル (17) が得られる。
• 微小スケール構造と要素間相互作用を忠実に解像するため、粗い微小スケール解像度でもマクロスケールダイナミクスを正確に予測可能である。
• 純粋な代数的手法では2次元における高次モデルの構築が低次の範囲に限られるため、ハイブリッド数値的・代数的アプローチが不可欠である。
• 計算効率が高く、コンピュータ代数システムReduceは、モデル構築速度においてMathematicaを1桁以上上回る。