[論文レビュー] Holographic codes

José I. Latorre, Germán Sierra|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2015

Advanced Memory and Neural ComputingEngineering被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、絶対的 maximal なもつれを示す四キューチューブ状態から構成されるホログラフィックな量子符号 H-code を導入する。中性化則を用いた完全な境界から断熱的自由度への写像を可能にする。得られる状態はトポロジカルな秩序を示し、非常に非局所的なハミルトニアンによって安定化され、トポロジカルなもつれエントロピーが -1 である。これは、断熱的自由度間のハミング距離が指数関数的に大きな、新たなトポロジカルに秩序された量子メモリのクラスを示している。

ABSTRACT

There exists a remarkable four-qutrit state that carries absolute maximal entanglement in all its partitions. Employing this state, we construct a tensor network that delivers a holographic many body state, the H-code, where the physical properties of the boundary determine those of the bulk. This H-code is made of an even superposition of states whose relative Hamming distances are exponentially large with the size of the boundary. This property makes H-codes natural states for a quantum memory. H-codes exist on tori of definite sizes and get classified in three different sectors characterized by the sum of their qutrits on cycles wrapped through the boundaries of the system. We construct a parent Hamiltonian for the H-code which is highly non local and finally we compute the topological entanglement entropy of the H-code.

研究の動機と目的

• 境界と断熱的自由度がバランスの取れた重ね合わせにより厳密に関連するホログラフィックな量子符号を構築すること。
• すべての分割において絶対的 maximal なもつれを示す多体量子状態を実現し、耐障害性の高い量子メモリを可能にすること。
• 三角形の各頂点で和が 0 mod 3 になる中性化則（和を 3 で割った余りが 0）を強制する四キューチューブ最大もつれ状態に基づくテンソルネットワークを定義すること。
• H-code の親ハミルトニアンを導出し、そのハミルトニアンが非常に非局所的であり、トポロジカルな秩序を有する基底状態を安定化すること。
• トポロジカルもつれエントロピーを計算し、局所的変形に対して不変であることを示すこと。

提案手法

• H-code は、2次元の三角格子上に配置された三角シンプリックスのテンソルネットワークにより構築され、補助キューチューブが中性化則 s₁ + s₂ + s₃ ≡ 0 (mod 3) を各上向き三角形に対して強制する。
• 基本となる四キューチューブ状態 |ψ⟩ = ∑_{s,i} |s⟩_phys |i, i+s, i+2s⟩_ancillae は絶対的 maximal なもつれを示し、ネットワークの構築ブロックとして機能する。
• ネットワークは、各列の物理的インデックスが上側の列のインデックスの和によって決定されることを強制し、s₃ = -s₁ - s₂ (mod 3) に相当するルールに従う。
• ホログラフィックな方向の選択に依存しない不変性により、格子全体で一貫性が保たれる。
• 親ハミルトニアン H = H_Z + H_X が導出され、H_Z は中性化則を強制し、H_X は指数的サポートを持つ非局所的演算子により degeneracy を破る。
• H_X はすべての上向き三角形にわたる X と X⁻¹ の積を含む非常に非局所的な演算子であり、サポートが 6^k に増大し、H-code が与えられたトポロジカルなセクター内で唯一の基底状態であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界状態がユニタリ写像により一意に断熱的状態を決定するホログラフィックな量子符号を構築可能か？
• RQ2 絶対的 maximal にもつれた四キューチューブ状態から構成される多体量子状態のもつれおよびトポロジカル特性は何か？
• RQ3 最大もつれと大きなハミング距離を持つトポロジカル量子符号を安定化する非局所的ハミルトニアンをどのように設計できるか？
• RQ4 このような符号のトポロジカルもつれエントロピーは何か？また、部分系の分割に対する局所的変更に対して不変か？
• RQ5 H-code は明確なトポロジカルセクターに分類可能か？また、これらは断熱的観測量によって区別可能か？

主な発見

• H-code は境界と断熱的状態の積状態のバランスの取れた重ね合わせであり、中性化則により境界が断熱的状態を一意に決定する。
• H-code のトポロジカルもつれエントロピーは正確に -1 であり、式 S_top = S_ABC - S_AB - S_AC - S_BC + S_A + S_B + S_C を用いて計算された。
• 任意の断熱的領域 A（m < 3^k 個のキューチューブを含む）の縮約密度行列は完全に混合状態である：ρ_A = (1/3^m) I_{3^m}。これは、小さな部分系に完全な無秩序性があることを示している。
• 親ハミルトニアン H = H_Z + H_X は、与えられたトポロジカルセクター内で H-code を唯一の基底状態として安定化する。H_X は非常に非局所的であり、6^k のサポートを持つ。
• H-code は断熱的状態間で指数関数的に大きなハミング距離を示し、最大の区別可能性を有するため、量子メモリとして自然な候補である。
• トーラス上における H-code の3つの異なる状態（S でラベル付け）は、断熱的観測量によってトポロジカルに区別不能であり、トポロジカル秩序が確認された。