[論文レビュー] Holographic Construction of Quantum Field Theory using Wavelets

Sukhwinder Singh, Gavin K. Brennen|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2016

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 1被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、1+1次元スカラー 대통계量子場理論における高次ダーブェシュ波ildlet族（$τ \geq 3$）への正確なホログラフィック写像の一般化を行い、波ildletに基づく自己エネルギーがスケール依存の曲率を持つ発現的バルク幾何を誘導することを示している。この構成により、バルク計量が波ildlet族に依存して調整可能なAdS₃に対応するホログラフィー双対性が実現され、自己エネルギーの流れの速度は$τ$に従って増加する。これにより、調和振動子モードにおけるガウス操作を用いた実験的デジタル量子シミュレーションが可能になる。

ABSTRACT

Wavelets encode data at multiple resolutions, which in a wavelet description of a quantum field theory, allows for fields to carry, in addition to space-time coordinates, an extra dimension: scale. A recently introduced Exact Holographic Mapping [C.H. Lee and X.-L. Qi, Phys. Rev. B 93, 035112 (2016)] uses the Haar wavelet basis to represent the free Dirac fermionic quantum field theory (QFT) at multiple renormalization scales thereby inducing an emergent bulk geometry in one higher dimension. This construction is, in fact, generic and we show how higher families of Daubechies wavelet transforms of 1+1 dimensional scalar bosonic QFT generate a bulk description with a variable rate of renormalization flow. In the massless case, where the boundary is described by conformal field theory, the bulk correlations decay with distance consistent with an Anti-de-Sitter space (AdS3) metric whose radius of curvature depends on the wavelet family used. We propose an experimental demonstration of the bulk/boundary correspondence via a digital quantum simulation using Gaussian operations on a set of quantum harmonic oscillator modes.

研究の動機と目的

• ハール波ildletから高次ダーブェシュ波ildlet族（$\mathcal{K} \geq 3$）への正確なホログラフィック写像の拡張を、スカラーQFTにおいて行う。
• 波ildlet族インデックス$τ$がホログラフィック構成における自己エネルギーの流れの速度と発現的バルク幾何をどのように制御するかを調査する。
• 高次$τ$波ildletがツリーtensorネットワーク構造を一般化することを示し、波ildlet変換とtensorネットワーク形式的（特にMERA）との関係を確立する。
• 調和振動子モードにおけるガウス操作を用いたデジタル量子シミュレーションプロトコルを提案し、バルク/境界双対性を実験的に実現する。
• 波ildletおよびスケーリング関数の連続的一階微分により、$τ \geq 3$でQFTの微分結合項が正確に捉えられることを示す。

提案手法

• 本稿は、$τ$を波ildletおよびスケーリング関数のゼロモーメント数として表すダーブェシュ$τ$-波ildlet基底を用いて境界QFTを表現する。
• 空間的およびスケールインデックスを有する波ildletおよびスケール場演算子を用いて、元のEHMフレームワークを一般化したバルク理論を構築する。
• バルクハミルトニアンは、波ildlet変換によって定義されるユニタリ変換を介して境界QFTから導出され、スケール次元における自己エネルギー群の流れを符号化する。
• 波ildlet変換はフィルターバンクを用いたマルチスケール分解として実装され、係数$h_k$および$g_k$が解析および合成フィルタを決定する。
• 微分重ね合わせ積分$D^{[ss]0}_{0,m}$、$D^{[sw]r,0}_{m,m'}$、および$D^{[ww]r,j}_{m,m'}$は再帰的式および行列表現を用いて計算され、計量および結合情報が捉えられる。
• 局所的基底状態準備、線形光学ゲート、および単一モードのスケーリングを用いて、量子ハードウェア上で波ildletに基づくホログラフィック写像を実装するデジタル量子シミュレーションプロトコルを提案する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 波ildlet族インデックス$τ$を増加させることで、ホログラフィック構成における自己エネルギーの流れの速度と発現的バルク幾何にどのような影響を与えるか？
• RQ2 高次ダーブェシュ波ildlet（$τ \geq 3$）は、ハール波ildletと比較してQFTにおける微分結合項の表現をより正確に可能にするか？
• RQ3 波ildletに基づくホログラフィック写像とMERAやツリーテンソルネットワークなどのtensorネットワーク構成との関係は何か？
• RQ4 発現的バルクAdS₃幾何の曲率は、波ildlet族の選択にどのように依存するか？
• RQ5 提案された波ildletに基づくホログラフィック写像は、調和振動子モードにおけるガウス操作を用いたデジタル量子シミュレーションで実装可能か？

主な発見

• 質量なし境界CFTにおける発現的バルク幾何は、AdS₃計量と整合的であり、曲率半径は波ildlet族インデックス$τ$に反比例する。これは、波ildletの選択によって曲率を調整可能であることを示唆する。
• $τ \geq 3$では、波ildletおよびスケーリング関数が連続的一階微分を持つため、カットオフスケールまでにQFTにおける微分結合項が正確に表現可能である。
• 自己エネルギーの流れの速度は$τ$に従って増加し、$τ$が大きいほど粗大化が速くなり、自己エネルギーの各ステップにおける相互作用近傍領域が線形に増加する。
• 波ildletに基づくホログラフィック写像は、ハールEHMのツリーテンソルネットワーク構造を、ループ構造を含む一般化したものであり、マルチスケールエンタングルメント自己エネルギー近似（MERA）にさらに近づく。
• $τ=3,4,5$に対して、$D^{[ss]0}_{0,m}$が明示的に計算され、$τ$が増加するにつれて$D^{[ss]0}_{0,0}$が5.268から3.835に減少することが示され、高次波ildletにおける短距離相関の低減が裏付けられる。
• 調和振動子モードにおけるガウス操作を用いた現実的なデジタル量子シミュレーションプロトコルが提案され、局所的基底状態または熱状態の準備、線形光学ゲート、および単一モードのスケーリングを用いて、バルク/境界写像を実験的に実現可能である。