[論文レビュー] Holographic Lifshitz flows and the null energy condition

James T. Liu, Zhichen Zhao|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2012

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 29被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、相対論的$c$-定理とは異なり、効果的なAdS半径が単調に増加するのとは対照的に、null energy condition (NEC) が、Einstein重力におけるLifshitz固定点間の流れに及ぼす制約を調査する。質量のあるゲージ場とスカラーを含むモデルにおける数値解を通じて、Lifshitz動的指数$z$と効果的半径$L$が、どちらの方向へも流れうることを示している。主な結果は、NECが$z$および$d$と$\theta$の$z$に依存する組み合わせに関する不等式を課すが、$c$-関数の単調性を強制するものではないことである。

ABSTRACT

We study asymptotically Lifshitz spacetimes and the constraints on flows between Lifshitz fixed points imposed by the null energy condition. In contrast with the relativistic holographic c-theorem, where the effective AdS radius, L, is monotonically decreasing in the IR, for Lifshitz backgrounds we find that both L and z may flow in either direction. We demonstrate this with several numerical examples in a phenomenological model with a massive gauge field coupled to a real scalar.

研究の動機と目的

• 非相対論的量子場理論におけるLifshitz固定点間のホログラフィック流れに及ぼすnull energy condition (NEC) の影響を調査すること。
• NECが、AdS時空における相対論的$c$-定理に類似した$c$-関数の単調性を強制するかどうかを特定すること。
• NECの下で、動的指数$z$と効果的AdS半径$L$が単調に流れなければならないのか、それとも方向性のある流れが許容されるのかを検討すること。
• Lifshitz時空におけるhyperscaling violationを伴うNECに起因する幾何的・物理的制約を分析すること。
• 固定点を越えて$c$-関数の振る舞いを理解を拡張するため、$z(r)$および$\theta(r)$関数を導入し、流れ全体にわたって補間すること。

提案手法

• nullベクトル$k^\mu$に対して$R_{\mu\nu}k^\mu k^\nu \geq 0$として表されるRICCIテンソルの縮約によるNEC条件を導出し、それを度数関数に対する幾何的制約に翻訳する。
• 動的指数$z$と効果的半径$L(r)$を有するLifshitz時空をモデル化するため、$ds^2 = -e^{2zr/L}dt^2 + e^{2r/L}d\vec{x}^2 + dr^2$というバルク計量のアンザッツを用いる。
• 効果的計量関数$A(r)$および$B(r)$に対してNECを適用し、$A''$, $B''$およびそれらの組み合わせを含む不等式を導出する。
• 数値的にLifshitz流れを実現し、NEC制約をテストするために、質量のあるゲージ場と実スカラーを含む体系的モデルを構築する。
• $A(r)$および$B(r)$の導関数の比を用いて、$z(r)$および$\theta(r)$の補間関数を提案し、流れ全体にわたって固定点の定義を拡張する。
• 流れに沿ってNECを満たすために必要な不等式$(d-1-\theta)((z-1)(d-1)-\theta) \geq 0$および$(z-1)(z+d-1-\theta) \geq 0$を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 null energy condition は、Lifshitz時空における動的指数$z$および効果的半径$L$の流れの方向を制約することができるか？
• RQ2 非相対論的ホログラフィック流れにおいて、NECは、相対論的$c$-定理と同様に$c$-関数の単調性を強制するのか？
• RQ3 hyperscaling violationパラメータ$\theta$および$z$はNECの下でどのように変化するのか？また、流れに沿って増加または減少しうるのか？
• RQ4 幾何的量を用いて、固定点以外の領域でも一貫した$c$-関数を定義できるのか？
• RQ5 AdS$_2 \times \mathbb{R}^{d-1}$固定点に近づくとき、NECの幾何的・物理的意味は何か？

主な発見

• null energy condition は、効果的Lifshitz半径$L(r)$や動的指数$z(r)$の単調な流れを要求しない。$z$と$L$はどちらの方向へも流れうる。
• 質量のあるゲージ場とスカラー場を含むモデルにおける数値解は、NECを満たしながら$z$と$L$がどちらの方向へも流れうることを示している。
• NECは二つの不等式を導く：$(d-1-\theta)((z-1)(d-1)-\theta) \geq 0$および$(z-1)(z+d-1-\theta) \geq 0$。これらは固定点で成立しなければならず、拡張された形で流れの振るまいを制約する。
• 提案された補間関数$z(r)$および$\theta(r)$により、最初のNEC不等式は流れ全体にわたって一様に表現可能であるが、第二の不等式は簡単な幾何的形を持たない。
• $z(r)$および$L(r)$の非単調性のため、標準的な$c$-関数の構成はNECの全制約を捉えきれず、$c$-定理がLifshitz流れに直接拡張できないことを示している。
• AdS$_2 \times \mathbb{R}^{d-1}$の極限において、$L(r) \to \infty$かつ$z(r) \to \infty$となり、$z(r)/L(r)$が固定される。これは、主たる解析で用いられた$L(r)$および$z(r)$の定義が崩壊することを示唆している。