[論文レビュー] Holographic Timelike Entanglement Entropy from Rindler Method

Peng-Zhang He, Hai-Qing Zhang|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2023

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 48被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、時空的切断を用いて2次元CFTにおける時空的エンタングルメントエントロピーの新しい定義を提案し、Rindler法を用いてAdS₃におけるそのホログラフィック双対を導出する。スパスケールのエンタングルメントエントロピーを解析接続し、Rindler変換を時空的領域と熱状態を結ぶ手段として扱うことで、中心電荷 $ c $ を含む複素定数 $ i c \pi / 6 $ を含む重力的双対が得られ、ホログラフィックな時空的エンタングルメントエントロピーの整合性のある枠組みを提供する。

ABSTRACT

For a Lorentzian invariant theory, the entanglement entropy should be a function of the domain of dependence of the subregion under consideration. More precisely, it should be a function of the domain of dependence and the appropriate cut-off. In this paper, we refine the concept of cut-off to make it applicable to timelike regions and assume that the usual entanglement entropy formula also applies to timelike intervals. Using the Rindler method, the timelike entanglement entropy can be regarded as the thermal entropy of the CFT after the Rindler transformation plus a constant $icπ/6$ with $c$ the central charge. The gravitational dual of the `covariant' timelike entanglement entropy is finally presented following this method.

研究の動機と目的

• 時空的切断 $ \varepsilon^T $ を用いて、標準的なエンタングルメントエントロピー形式を時空的部分領域へ拡張する方法で、時空的エンタングルメントエントロピーを定義すること。
• 従来、スパスケールのエンタングルメントに用いられてきたRindler法を、2次元CFTにおける時空的区間へ応用すること。
• Rindler変換とコンフォーマル写像を用いて、AdS₃における時空的エンタングルメントエントロピーの重力的双対を導出すること。
• 変換後のCFTにおける熱エントロピーと関連づけることで、時空的エンタングルメントエントロピーの物理的意味を明確化すること。
• 時間と空間を入れ替える双対変換が、エンタングルメントエントロピーに複素定数 $ic\pi/6$ を除いて不変であると仮説を立てること。

提案手法

• 標準的なスパスケールの切断 $ \varepsilon $ の代わりに、時空的切断 $ \varepsilon^T $ を導入し、時空的エンタングルメントエントロピー $ S^{(t)} = S(\mathcal{D}, \varepsilon^T) $ を定義可能にする。
• Rindler変換を用いて、時空的区間をRindler楔に写像し、真空状態をCFTにおける熱状態に変換する。
• コンフォーマル変換技術を用いて、得られた熱エントロピーを元のフレームにおけるエンタングルメントエントロピーに関連付ける。
• AdS/CFT対応を用いて、CFTにおける熱状態をボトムのブラックホール幾何に写像することで、ホログラフィック双対を導出する。
• 熱分配関数の解析接続から生じる複素補正項 $ i c \pi / 6 $ を組み込み、Rindler変換の構造と整合的である。
• 時間と空間を入れ替える「双対変換」$ u \to u, v \to -v $ が存在し、エンタングルメントエントロピーを複素定数 $ i c \pi / 6 $ を除いて不変に保つと仮説を立てる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ローレンツ的CFTにおいて、時空的部分領域に対してエンタングルメントエントロピーを一貫して定義する方法は何か？
• RQ2 時空的エンタングルメントエントロピーを定義する際の切断の役割は何か？スパスケールの場合とはどのように異なるか？
• RQ3 スパスケールのエンタングルメントに成功したRindler法を、時空的区間へ拡張できるか？
• RQ4 AdS₃/CFT₂における時空的エンタングルメントエントロピーの重力的双対は何か？
• RQ5 得られたエンタングルメントエントロピーに虚数定数 $ i c \pi / 6 $ が現れる理由は何か？その物理的意味は何か？

主な発見

• 時空的エンタングルメントエントロピーは $ S_A^{(t)} = \frac{c}{3} \log\left[ \frac{R}{\pi \epsilon} \sin\left( \frac{\pi T_0}{R} \right) \right] + \frac{i\pi c}{6} $ として導出され、$ T_0 $ は時空的区間の長さ、$ \epsilon $ は時空的切断である。
• $ R \to \infty $ の極限において、式は $ S_A^{(t)} = \frac{c}{3} \log\left( \frac{T_0}{\epsilon} \right) + \frac{i\pi c}{6} $ に簡略化され、解析接続による導出と一致する。
• Rindler変換により真空状態が熱状態に写像され、CFTにおける得られた熱エントロピーは、複素定数 $ i c \pi / 6 $ を除いて時空的エンタングルメントエントロピーに対応する。
• 時空的エンタングルメントエントロピーの重力的双対は、CFTにおける熱状態をボトムのブラックホール幾何に写像することで得られ、AdS/CFT対応と整合的である。
• 複素補正項 $ i c \pi / 6 $ は、熱分配関数の解析接続から自然に生じ、提案された双対変換のもとで不変である。
• 著者らは、双対変換 $ v \to -v $ がエンタングルメントエントロピーを複素定数 $ i c \pi / 6 $ を除いて不変に保つと仮説を立て、時空的エンタングルメントの背後にあるより深い対称性を示唆している。