[論文レビュー] Holography and Riemann Surfaces

Kirill Krasnov|ArXiv.org|May 11, 2000

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、古典的シュットキー群を用いたユークリッド AdS₃ の離散的同一化によって、任意の genus を持つリーマン面境界を持つ漸近的に AdS 空間を構成することで、2+1次元のホログラフィーを一般化する。正則化された重力作用がタフタジャンとゾゴフが定義したリーマン面上のリウヴィル作用と正確に一致することを示し、テイヒミュラー理論とホログラフィック熱力学を結びつけるブロック/境界対応を確立する。これにより、高 genus 表面における境界 CFT の分配関数の古典的実現が得られる。

ABSTRACT

We study holography for asymptotically AdS spaces with an arbitrary genus compact Riemann surface as the conformal boundary. Such spaces can be constructed from the Euclidean AdS_3 by discrete identifications; the discrete groups one uses are the so-called classical Schottky groups. As we show, the spaces so constructed have an appealing interpretation of ``analytic continuations'' of the known Lorentzian signature black hole solutions; it is one of the motivations for our generalization of the holography to this case. We use the semi-classical approximation to the gravity path integral, and calculate the gravitational action for each space, which is given by the (appropriately regularized) volume of the space. As we show, the regularized volume reproduces exactly the action of Liouville theory, as defined on arbitrary Riemann surfaces by Takhtajan and Zograf. Using the results as to the properties of this action, we discuss thermodynamics of the spaces and analyze the boundary CFT partition function. Some aspects of our construction, such as the thermodynamical interpretation of the Teichmuller (Schottky) spaces, may be of interest for mathematicians working on Teichmuller theory.

研究の動機と目的

• 2+1次元ホログラフィーを、単純な境界トポロジーにとどまらず、任意の genus を持つリーマン面を境界にもつ場合にまで一般化すること。
• 古典的シュットキー群を用いた離散的同一化によって、非自明なトポロジーを持つユークリッド AdS₃ 空間を構成すること。
• このような空間に対する正則化されたオンシェル重力作用が、タフタジャンとゾゴフが定義したリーマン面上のリウヴィル作用と一致することを示すこと。
• 得られた幾何を熱力学的解釈に用い、半古典的近似における境界 CFT 分配関数を導出すること。
• テイヒミュラー空間とシュットキー空間の数学的構造を、熱力学的パラメーターや相関関数などの物理的ホログラフィック観測量と結びつけること。

提案手法

• 古典的シュットキー群によるユークリッド AdS₃ の商空間を用いて、任意の genus を持つリーマン面境界を持つ漸近的に AdS 空間を構成すること。
• 重力経路積分の半古典的近似を用い、分配関数が与えられた境界計量と一致する古典的解のオンシェル作用によって決定されることを仮定すること。
• 体積の正則化を用いて重力作用を正則化し、各空間に対して有限で明確に定義された量を得ること。
• ベルトラミー微分と二次微分のペアリングを用いて、正則化された作用をタフタジャンとゾゴフが定義したリーマン面上のリウヴィル作用と特定すること。
• ウェイル＝ペトロフ計量とテイヒミュラー理論を用いて、リーマン面のモジュライ空間をこれらのブロック幾何のパrameter空間として解釈すること。
• シュットキー群のパrameter を熱力学的変数に写像し、シュワーツィアン微分展開における係数 $ c_i^ u $ が広義のパラメータとして機能することを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホログラフィーは、任意の genus を持つリーマン面が共形境界である漸近的に AdS 空間へ意味的に拡張可能だろうか？
• RQ2 このような空間に対する正則化された重力作用は、2次元共形場理論における既知の作用とどのように関係するか？
• RQ3 ホログラフィック重力と熱力学の文脈において、テイヒミュラー空間とシュットキー空間の物理的解釈は何か？
• RQ4 シュットキー群のパrameter は、境界 CFT の熱力学的量とどのように対応するか？
• RQ5 この一般化されたホログラフィー的設定において、境界 CFT の分配関数はブロック重力経路積分から導出可能だろうか？

主な発見

• 任意の genus を持つリーマン面境界を持つユークリッド AdS₃ 空間に対する正則化されたオンシェル重力作用は、タフタジャンとゾゴフが定義したリーマン面上のリウヴィル作用と正確に一致する。
• この構成は、内部にワームホールトポロジーを持つローレンツ型ブラックホール解の「解析接続」として実現されており、ユークリッドとローレンツ型ホログラフィーを結びつける。
• 均一化写像のシュワーツィアン微分展開における係数 $ c_i^ u $ は広義の熱力学的パラメータを表し、シュットキー座標 $ ho_i $ は強度的パラメータとして機能する。
• 境界 CFT 分配関数は、半古典的極限におけるブロック重力経路積分によって完全に決定され、その結果はリーマン面上のリウヴィル理論の分配関数と等価である。
• テイヒミュラー空間上のウェイル＝ペトロフ計量は、ブロック幾何から自然に出現し、モジュラー群に対して不変なケーラー構造を提供する。
• テイヒミュラー空間からシュットキー空間への写像により、ベクトル場と二次微分を引き上げることができ、双対 CFT のモジュライ依存性の幾何的実現が可能になる。