[論文レビュー] Holomorphic Bundles and the Moduli Space of N=1 Heterotic Compactifications

Xenia de la Ossa, Eirik Eik Svanes|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2014

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、$N=1$ ハイパーバイオティックコンパクト化の1次モジュライ空間を導出する。その際、変形がバンドル $\mathcal{Q}$ 上の正則構造によって支配されることを示し、$T^*X$ と $E = \text{End}(V) \oplus \text{End}(TX) \oplus TX$ を含む拡張として構成される $\mathcal{Q}$ に対して、異常性キャンセレーションを強制する拡張クラス $\mathcal{H}$ が導入される。主な結果として、物理的モジュライは $\text{End}(V)$ および $TX$ から生じるが、$\text{End}(TX)$ の成分は物理的でないものの、整合性を保つために数学的に不可欠である。

ABSTRACT

We describe the first order moduli space of heterotic string theory compactifications which preserve $N=1$ supersymmetry in four dimensions, that is, the infinitesimal parameter space of the Strominger system. We establish that if we promote a connection on $TX$ to a field, the moduli space corresponds to deformations of a holomorphic structure $\bar D$ on a bundle $\cal Q$. The bundle $\cal Q$ is constructed as an extension by the cotangent bundle $T^*X$ of the bundle $E= { m End}(V) \oplus { m End}(TX) \oplus TX$ with an extension class $\cal H$ which precisely enforces the anomaly cancelation condition. The deformations corresponding to the bundle $E$ are simultaneous deformations of the holomorphic structures on the poly-stable bundles $V$ and $TX$ together with those of the complex structure of $X$. We discuss the fact that the ``moduli'' corresponding to ${ m End}(TX)$ cannot be physical, but are however needed in our mathematical structure to be able to enforce the anomaly cancelation condition. In the Appendix we comment on the choice of connection on $TX$ which has caused some confusion in the community before. It has been shown by Ivanov and others that this connection should also satisfy the instanton equations, and we give another proof of this fact.

研究の動機と目的

• 4次元 $N=1$ スーパーシンメトリーを保存する $N=1$ ハイパーバイオティックコンパクト化の無限小モジュライ空間を導出すること。
• ストロミンジャー系における $TX$ 上の接続の役割を明確にし、先行研究における混乱を解消すること。
• モジュライ空間が、$T^*X$ と $E$ を含む拡張から構成されるバンドル $\mathcal{Q}$ 上の正則構造 $\bar{D}$ の変形に対応することを示すこと。
• $\text{End}(TX)$ 成分が物理的でないものの、異常性キャンセレーション条件を満たすために不可欠であることを示すこと。

提案手法

• 拡張クラス $\mathcal{H}$ を用いて、$T^*X$ を基底に、$E = \text{End}(V) \oplus \text{End}(TX) \oplus TX$ を被覆とする正則拡張としてバンドル $\mathcal{Q}$ を構成する。
• モジュライ空間を $\mathcal{Q}$ 上の正則構造 $\bar{D}$ の変形と同一視し、無限小コンパクト化データをパrameter化する。
• 拡張クラス $\mathcal{H}$ を用いて、ストロミンジャー系が要請する異常性キャンセレーション条件を符号化する。
• バンドル $E$ の変形が、$V$、$TX$ の正則構造およびコンパクト化多様体 $X$ の複素構造の同時変形に対応することを示す。
• $\text{End}(TX)$ 成分が物理的でないものの、変形系を閉じ、異常性キャンセレーションを満たすために数学的に不可欠であることを示す。
• アイルヴァンォフらの結果を確認する新たな証明を提供し、$TX$ 上の接続がインスタントン方程式を満たす必要があることを再確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則バンドルの観点から、$N=1$ ハイパーバイオティックコンパクト化の1次モジュライ空間はどのように構造化されているか？
• RQ2 拡張クラス $\mathcal{H}$ が異常性キャンセレーション条件を符号化する際の正確な役割は何か？
• RQ3 $\text{End}(TX)$ 成分が物理的モジュライに対応しないにもかかわらず、なぜ変形空間に含まれるのか？
• RQ4 $TX$ 上の接続の選択が、ストロミンジャー系の整合性にどのように影響するか？
• RQ5 正則バンドルフレームワークを用いて、$TX$ 接続がインスタントン方程式を満たす必要があるという要件を再導出できるか？

主な発見

• $N=1$ ハイパーバイオティックコンパクト化のモジュライ空間は、$T^*X$ を基底に、$E$ を被覆とする拡張として構成されるバンドル $\mathcal{Q}$ 上の正則構造 $\bar{D}$ の変形の空間として実現される。
• 拡張クラス $\mathcal{H}$ は、ストロミンジャー系が要請する異常性キャンセレーション条件を正確に実装する。
• バンドル $E = \text{End}(V) \oplus \text{End}(TX) \oplus TX$ の変形は、$V$、$TX$ の正則構造およびコンパクト化多様体 $X$ の複素構造の同時変形に対応する。
• $\text{End}(TX)$ 成分は物理的でないが、変形系を閉じ、異常性キャンセレーションと整合性を保つために数学的に不可欠である。
• 本稿は、$TX$ 上の接続がインスタントン方程式を満たす必要があるという事実を、新たな証明により確認している。
• 本フレームワークは、$TX$ 上の接続の選択に関する長年の混乱を解消し、ストロミンジャー系における整合性を保つためにその必要性を明確にした。