[論文レビュー] Holomorphic extension of representations: (I) automorphic functions

Bernhard Kroetz, Robert J. Stanton|ArXiv.org|Oct 7, 2002

Advanced Algebra and Geometry参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、実半単純リー群 $G$ の複素化 $G_C$ における最大の $K_C$-$G$ 二重コセット領域を構成し、任意の既約ユニタリ表現の $K$-有限ベクトルへの $G$ の作用がこの領域に正則に拡張されることを証明する。正則拡張された行列係数の特異性および境界挙動に対する鋭い推定式を確立し、自動形式における $L^∞$ 界とマース形式およびランキン・セルバーグ積のフーリエ係数の均一な減衰率推定式を可能にする。

ABSTRACT

Let G be a connected, real, semisimple Lie group contained in its complexification G_C, and let K be a maximal compact subgroup of G. We construct a K_C-G double coset domain in G_C, and we show that the action of G on the K-finite vectors of any irreducible unitary representation of G has a holomorphic extension to this domain. For the resultant holomorphic extension of K-finite matrix coefficients we obtain estimates of the singularities at the boundary, as well as majorant/minorant estimates along the boundary. We obtain L^\infty bounds on holomorphically extended automorphic functions on G/K in terms of Sobolev norms, and we use these to estimate the Fourier coefficients of combinations of automorphic functions in a number of cases, e.g. of triple products of Maass forms.

研究の動機と目的

• 任意の既約ユニタリ表現の $K$-有限ベクトルへの $G$ の作用が正則に拡張される、$G_C$ 内の普遍的かつ最大の $K_C$-$G$ 二重コセット領域を構築すること。
• 正則拡張された $K$-有限行列係数の境界における特異性の正確な推定式を導出すること。
• 正則拡張を用いた $G/K$ 上の自動形式における $L^∞$ 界をソボレフノルムの観点から確立すること。
• マース形式およびランキン・セルバーグ積のフーリエ係数の減衰率推定式を、実ランク1およびそれ以上のランク群にわたって一様に、表現論的証明法により与えること。
• サルナックの予想の均一版、すなわちマース形式の組み合わせのフーリエ係数の指数的減衰率について、正則拡張技法を用いて一様に検証すること。

提案手法

• Iwasawa分解とリー代数 $\mathfrak{g}$ の複素化を用い、Cartan分解 $\mathfrak{g} = \mathfrak{k} \oplus \mathfrak{p}$ および根空間分解を活用して $G_C$ 内の $K_C$-$G$ 二重コセット領域を構成する。
• Iwasawa分解 $G = KAN$ 及びその複素化を用い、領域 $\Omega = K_C A_C^1 N_C \cap G_C$ を定義し、特定の方向において最大であることを示す。
• $g \in G$ における $\kappa(g), a(g), n(g)$ の正則依存性に依拠して、$G$ の $K$-有限ベクトルへの作用を $\Omega$ に正則に拡張する解析的接続技法を適用する。
• 複素解析関数 $z' = \sqrt{z^2 + \sin^2\theta(1/z^2 - z^2)}$ を用いて、$K_C A_C^1 N_C$ 内の $a_z k_\theta$ の挙動を分析し、領域境界に沿った主要項・最小項の推定式を導出する。
• 正則拡張された行列係数を用いて、ソボレフノルムの推定式により $G/K$ 上の自動形式における $L^\infty$ 界を確立する。
• これらの界を用いて、マース形式の積、特に三重積およびランキン・セルバーグ畳み込みのフーリエ係数を推定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の既約ユニタリ表現の $K$-有限ベクトルへの $G$ の作用が正則に拡張されるような、$G_C$ 内の普遍的かつ最大の領域を構築可能か？
• RQ2 正則拡張された $K$-有限行列係数の境界における特異性および成長の正確な推定式は何か？
• RQ3 正則拡張を用いて、ソボレフノルムの観点から $G/K$ 上の自動形式における $L^\infty$ 界をどのように導出できるか？
• RQ4 実ランク1群にわたるマース形式の組み合わせのフーリエ係数の均一な減衰率は何か？ そして、表現論的技法によりこれを証明可能か？
• RQ5 マース形式の積のフーリエ係数の指数的減衰率に関するサルナックの予想を、正則拡張技法を用いて一様に検証可能か？

主な発見

• $G$ の任意の既約ユニタリ表現の $K$-有限ベクトルへの作用は、最大の $K_C$-$G$ 二重コセット領域 $\Omega \subset G_C$ に正則に拡張可能であり、特定の方向において最大であることが示された。
• 正則拡張された $K$-有限行列係数は、領域 $\Omega$ の境界に沿って正確な主要項・最小項の推定式を有し、特異性は領域の複素解析的構造によって制御される。
• 正則拡張された行列係数を用いて、$G/K$ 上の自動形式における $L^\infty$ 界がソボレフノルムの観点から確立された。
• 実ランク1群において、三重積マース形式のフーリエ係数の予想される指数的減衰率の均一な証明が与えられた。
• $G = \mathrm{SL}(n,\mathbb{R})$ の場合、マース形式のランキン・セルバーグ積のフーリエ係数の減衰率推定式が得られた。
• $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ の有限体積ラティスに対して、ランキン・セルバーグ積のフーリエ係数の成長率に関するグッドの結果について、概念的に単純な証明が与えられた。