[論文レビュー] Holomorphic factorization of mappings into SL_n(C)

Björn Ivarsson, Frank Kutzschebauch|ArXiv.org|Dec 1, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、GromovのVaserstein問題を解決する。任意のホロモルフィックなゼロホモトープ写像が、有限次元の非特異なシュタイン空間からSLₙ(ℂ)へのものに対して、係数がホロモルフィックな単型行列の有限個の積に分解可能であることを証明する。証明は、分層ファイブレーションに適用されたOka-Grauert-Gromovのh原理を用い、因子の数に一様な上限が存在することを示し、その上限は定義域の次元と行列のサイズにのみ依存する。

ABSTRACT

We solve Gromov's Vaserstein problem. Namely, we show that a null-homotopic holomorphic mapping from a finite dimensional reduced Stein space into SL_n(C) can be factored into a finite product of unipotent matrices with holomorphic entries.

研究の動機と目的

• SLₙ(ℂ)へのホロモルフィック分解に関するGromovのVaserstein問題を解決すること。
• 有限次元の非特異シュタイン空間からSLₙ(ℂ)へのゼロホモトープなホロモルフィック写像が、ホロモルフィックな単型行列の積に分解可能であることを確立すること。
• 必要な単型行列の数に一様な上界が存在することを証明すること。その上界は定義域の次元と行列のサイズにのみ依存する。

提案手法

• 行列の分解問題に関連する分層ファイブレーションにOka-Grauert-Gromovのh原理を適用すること。
• ある種の多項式写像のレベル集合と同型なファイバーを持つシュタイン空間上のファイブレーションを構成し、ホロモルフィックなスプライを用いること。
• 滑らかなストラトムに存在するグローバルに積分可能なベクトル場とスプライを用いて、位相的な切断からホロモルフィックな切断を構成すること。
• Vasersteinの連続的分解に関する結果を活用し、位相的切断の存在を導出し、h原理によりその切断をホロモルフィックに引き上げること。
• 定義域の基底空間の分層と行列サイズの帰納的議論を用いて、特異ファイバーを扱い、グローバルなホロモルフィック分解を保証すること。
• 背理法を用いて、すべてのこのような写像に対して、単型行列の因子数に一様な上限が存在することを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の有限次元の非特異シュタイン空間 X から SLₙ(ℂ) へのゼロホモトープなホロモルフィック写像 f: X → SLₙ(ℂ) は、係数がホロモルフィックな単型行列の有限個の積に分解可能か？
• RQ2 このような分解に必要な因子数に一様な上界が存在するか。その上界は定義域の次元と行列のサイズにのみ依存するか？
• RQ3 連続的状況（K_C(m,n)）とホロモルフィック状況（K_O(m,n)）における因子数の関係は何か。特に n=2 の場合にどうか？

主な発見

• X が有限次元の非特異シュタイン空間であるとき、任意のゼロホモトープなホロモルフィック写像 f: X → SLₙ(ℂ) は、係数がホロモルフィックな単型行列の有限個の積に分解可能である。
• すべてのこのような写像が高々 K 個の単型行列の積に分解可能である一様な上界 K が存在する。K は X の次元 m と行列のサイズ n にのみ依存する。
• n=2 の場合、ホロモルフィック分解数 K_O(m,2) は不等式 K_O(m,2) ≤ K_C(m,2) + 4 を満たす。ここで K_C(m,2) は連続的状況における上界である。
• 証明により、h原理の議論に用いられるファイブレーションがホロモルフィックな切断を備えていることが示された。この切断は、Vasersteinの結果により保証された位相的切断を引き上げることで得られる。
• すべての次元 m のシュタイン空間と、すべての SLₙ(ℂ) へのゼロホモトープな写像に対して、因子数が一様に有界であり、ホロモルフィックな文脈でも同様に成り立つ。
• Cohnの反例（SL₂(ℂ[z₁,z₂]) 内の多項式写像）では、4つの連続的単型行列で分解可能であるが、ホロモルフィックには5つの単型行列が必要であり、連続的とホロモルフィックな文脈の間に明確なギャップがあることが示された。