[論文レビュー] Holomorphic isometries from the Poincaré disk into bounded symmetric domains of rank at least two

Shan Tai Chan, Yuan Yuan|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2017

Holomorphic and Operator Theory参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ポアンカレの円板から単位円板と複素単位球体の積への正則等長写像を特徴付け、互いに合同でない実1パラメータ族の等長写像を構成する。さらに、ランクが2以上の非可約有界対称領域（タイプIVを除く）へはそれらを拡張し、無理数成分をもつ境界拡張型の非標準的等長写像の存在を示す。

ABSTRACT

We first study holomorphic isometries from the Poincaré disk into the product of the unit disk and the complex unit $n$-ball for $n\ge 2$. On the other hand, we observe that there exists a holomorphic isometry from the product of the unit disk and the complex unit $n$-ball into any irreducible bounded symmetric domain of rank $\ge 2$ which is not biholomorphic to any type-$\mathrm{IV}$ domain. In particular, our study provides many new examples of holomorphic isometries from the Poincaré disk into irreducible bounded symmetric domains of rank at least $2$ except for type-$\mathrm{IV}$ domains.

研究の動機と目的

• n ≥ 2 に対して、単位円板と複素単位 n 次元球体の積へのポアンカレの円板からの正則等長写像を完全に特徴付けること。
• ポアンカレの円板からそのような積へ至る、互いに合同でない実1パラメータ族の正則等長写像を構成すること。
• それらの構成をランク ≥ 2（タイプIVを除く）の非可約有界対称領域へ拡張し、非標準的等長写像の存在を示すこと。
• モクの境界拡張に関する問題に応えるために、無理数成分関数をもつ新しい例を構成すること。
• 積領域埋め込みを用いて、高ランクの対称領域への非全測地的正則等長写像を体系的に生成する方法を提供すること。

提案手法

• 等長写像の条件を解析するため、ベルグマン計量とケーラー＝アインシュタイン計量を含む関数方程式を用いる。
• 実解析関数の恒等定理を適用し、成分写像が閉単位円板の近傍へ正則に拡張可能であることを示す。
• アールフォルス＝シュワルツの補題を用いて、曲率形式の非負性を導出し、等長写像の条件を導く。
• 関数方程式 $\prod_{j=1}^{m}(1-\|f_j(w)\|^2)^{\lambda_j} = 1 - |w|^2$ を用いて、成分写像の挙動を制約する。
• リウヴィルの定理を用いて、球体へ写像する非定数関数で像が境界上にあるものを除外し、すべての成分が正則な固有写像であることを証明する。
• 構成された等長写像を、積領域からランク ≥ 2 の非可約有界対称領域への全測地的埋め込みと合成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n ≥ 2 に対して、ポアンカレの円板から単位円板と複素単位 n 次元球体の積へのすべての可能な正則等長写像は何か？
• RQ2 ポアンカレの円板からそのような積へ至る、互いに合同でない実1パラメータ族の正則等長写像を構成できるか？
• RQ3 ランク ≥ 2 の非可約有界対称領域（タイプIVを除く）への非標準的正則等長写像は存在するか？
• RQ4 ポアンカレの円板から対称領域への正則等長写像は、閉単位円板の近傍へ正則に拡張可能であり、その成分関数が無理数を含むか？
• RQ5 全測地的埋め込みは、高ランクの対称領域への非合同な等長写像族を生成する上で果たす役割は何か？

主な発見

• n ≥ 2 に対して、単位円板と複素単位 n 次元球体の積へのポアンカレの円板からの正則等長写像は完全に特徴付けられ、それらのうち互いに合同でない実1パラメータ族が構成された。
• 任意のこのような等長写像の成分写像は、閉単位円板の近傍へ正則に拡張可能であり、それぞれの球体への正則な固有写像である。
• ランク ≥ 2（タイプIVを除く）の任意の非可約有界対称領域 Ω に対して、ポアンカレの円板から Ω への互いに合同でない実1パラメータ族の正則等長写像が存在する。
• 閉単位円板の近傍へ正則に拡張可能で、無理数成分関数をもつ新しい非標準的正則等長写像が Ω へ構成された。
• 関数方程式 $\prod_{j=1}^{m}(1-\|f_j(w)\|^2)^{\lambda_j} = 1 - |w|^2$ は、$\sum_{j=1}^{m} \lambda_j = 1$ であり、各成分写像が全測地的正則等長写像であることを示唆する。
• このような等長写像の存在は、積領域から Ω への全測地的埋め込みと合成することにより確立され、ランク ≥ 3 の領域に関する既知の結果を用い、ランク2の領域（タイプIVを除く）へ拡張された。