[論文レビュー] Holomorphic mappings into compact complex manifolds

Do Duc Thai, Vu Duc Viet|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2013

Meromorphic and Entire Functions参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、複素平面（またはコンpaktoなリーマン面）からコンパクトな複素多様体への正則写像に対して、ネヴァンリンナ理論における第二主要定理を、N-部分一般位置にある除数のための明示的な切断レベルをもって確立する。主な貢献は、誤差項εに依存しない切断レベルを有する欠損関係を確立し、抽象的複素多様体における値分布論における長年の課題を解決することにある。

ABSTRACT

The purpose of this article is to show a second main theorem with the explicit truncation level for holomorphic mappings of $ \mathbb{C} $ (or of a compact Riemann surface) into a compact complex manifold sharing divisors in subgeneral position.

研究の動機と目的

• コンパクト複素多様体への正則写像とN-部分一般位置にある除数に対して、ネヴァンリンナ理論の第二主要定理を拡張すること。
• 誤差項εに依存しない切断レベルを求めるという未解決問題を解決すること。これは、ε→0のとき無限大に発散する問題であった。
• ルの欠損関係を、射影的多様体に限らない、任意のコンパクト複素多様体および抽象的除数へ一般化すること。
• ジェット計量と分岐論を用いて、正則写像の族が一様正則であるための条件を確立すること。
• 高次元複素幾何における一意性およびFive-Point定理の類似物に対する定量的枠組みを提供すること。

提案手法

• ジェットバンドル計量とカルタン＝ノッカ型第二主要定理を用いて、コンパクト複素多様体へのネヴァンリンナ理論の適応を行う。
• 射影空間における古典的条件を一般化した、コンパクト複素多様体上での除数のN-部分一般位置の新しい定義を導入する。
• J_m(X) 上のm-ジェット計量F_m とそれに伴うK^m_X-半ノルムを用い、微分の成長を制御する。
• 分岐定理とハーウィッツの補題を適用し、極限写像の振る舞いを解析し、非正則性から矛盾を導出する。
• ブロディ極限写像とジョゼフ＝クワックの正則性基準を用いて、一様正則族を特徴付ける。
• L_j が n, deg V, N, d_j, q, および ε に明示的に依存する、切断された数え上げ関数N_f^{[L_j]}(r, D_j) を含む明示的不等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素多様体への正則曲線に対する第二主要定理を、εに依存しない明示的切断レベルを持つN-部分一般位置にある除数へ拡張できるか？
• RQ2 正則写像の族がコンパクト複素多様体上ですべて一様正則であるための条件は何か？
• RQ3 欠損関係を射影的多様体から任意のコンパクト複素多様体へ一般化するにはどうすればよいか？
• RQ4 ジェット計量と分岐が、部分一般位置にある非退化正則写像を特徴付ける役割を果たすか？
• RQ5 本フレームワークを用いて、ラッパーンのFive-Point定理を高次元のコンパクト複素多様体へ拡張できるか？

主な発見

• 本稿は、誤差項εに依存しない明示的な切断レベルL_j を有する第二主要定理を確立し、値分布論における主要な未解決問題を解決した。
• 次元nの滑らかな複素射影的多様体Vへの代数的に非退化な正則写像f: ℂ → Vと、q ≥ 2N - n + 1 を満たすN-部分一般位置にある超曲面D_jに対して、すべてのrについて、測度が有限である集合の外で、不等式 (q - 2N + n - 1 - ε)T_f(r) ≤ ∑_{j=1}^q (1/d_j) N_f^{[L_j]}(r, D_j) が成り立つ。
• 切断レベルL_j は、n, deg V, N, d_j, q, ε に明示的に依存し、ε → 0 のときでさえも有限である。
• コンパクト複素多様体Xへの正則写像の族 𝒟 ⊂ Hol(Ω, X) が一様正則であるための必要十分条件は、すべてのf ∈ 𝒟 に対して f^{-1}(D) 上で導関数ノルム |df(p)|_{F_m} が一様に有界であり、ベクトル空間Eの切断の零点集合に制限したとき、すべてのブロディ極限写像が定数関数であることである。
• この結果は、一意性定理を示唆する：十分に多くの除数をN-部分一般位置に共有する2つの正則写像が、明示的な切断レベルを用いて共有すれば、それらは同一である。
• 高次元において、ラッパーンのFive-Point定理の類似が確立された。これは、適切な条件下で、コンパクト複素多様体への正則写像が、5つの除数の逆像によって一意に決定されることを示している。