[論文レビュー] Holomorphic maps between closed SU(l,m)-orbits in Grassmannian

Sung‐Yeon Kim|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2018

Holomorphic and Operator Theory参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、グラスマンニアン内の閉じた $SU(\ell,m)$-軌道間の正則写像を研究し、リーヴィ形式の符号の差が満たされる条件下で、このような写像が標準埋め込みと部分グラスマンニアンへの正則写像に因数分解されることを示している。主な結果は、追加の次元制約のもとで、写像が周囲のグラスマンニアンの完全測地的埋め込みとして拡張可能であることである。

ABSTRACT

Orbits of $SU(\ell, m)$ in a Grassmannian manifold have homogeneous CR structures. In this paper, we study germs of smooth CR mappings sending a closed orbit of $SU(\ell,m)$ into a closed orbit of $SU(\ell',m')$ in Grassmannian manifolds. We show that if the signature difference of the Levi forms of two orbits is not too large, then the mapping can be factored into a simple form and one of the factors extends to a totally geodesic embedding of the ambient Grassmannian into another Grassmannian with respect to the standard metric. As an application, we give a sufficient condition for a smooth CR mapping sending a closed orbit of $SU(\ell,m)$ into a closed orbit of $SU(\ell',m')$ in Grassmannian manifolds to extend as a totally geodesic embedding of the Grassmannian into another Grassmannian.

研究の動機と目的

• 源と終域の最小 $SU(\ell,m)$-軌道の最大複素部分多様体が異なる場合の、グラスマンニアン内における正則写像の剛性結果の一般化を目的とする。
• リーヴィ形式の符号差が小さい場合、最大複素部分多様体の鎖に沿ってCR剛性がどのように伝播するかを調査すること。
• このような軌道間の滑らかなCR埋め込みが、周囲のグラスマンニアンの完全測地的埋め込みとして拡張される条件を確立すること。
• 源と終域の最大複素部分多様体が同一でない場合でも、Ng [Ng12] のリフト技術を拡張するために、標準的および部分グラスマンニアン成分への因数分解を導入すること。

提案手法

• $S_{q,p}^\ell$、すなわち $Gr(q,p)$ 内の最小 $SU(\ell,m)$-軌道のCR構造を分析するために、動的フレーム法を用いる。
• $S_{q,p}^\ell$ 上の $n$-制限された部分グラスマンニアンの普遍空間を定義し、最大複素部分多様体とそれらの関係をパrameter化する。
• $q > 1$ かつ $|\ell' - q'| < 2(\ell - q)$ であれば、滑らかな横断的CR埋め込みの局所的型は、$Gr(q',L)$ への標準的埋め込み $f_1$ と、$\dim N \leq \ell' - \ell + q$ を満たす $Gr(q',N)$ への正則写像 $f_2$ に因数分解されることを確立する。
• Mok [M08] の特徴的バンドルに関する結果を適用し、リフト技術を用いて写像がバンドル構造を保存することを示す。
• ヘルミート形式 $\langle \cdot, \cdot \rangle_{\ell',m'}$ に関する直交分解を用いて、点における接空間および法空間を分析する。
• 次元条件 $q' \times (\ell' - \ell + q - q') < q \times (\ell - q)$ が満たされれば、部分グラスマンニアン成分が定数となることが示され、これはグローバルな拡張を意味する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラスマンニアン内の $SU(\ell,m)$-軌道間の滑らかなCR埋め込みの局所的型が、周囲のグラスマンニアンの完全測地的埋め込みとして拡張される条件は何か？
• RQ2 源と終域の軌道の最大複素部分多様体が異なる場合、源と終域の最大複素部分多様体が異なる場合、CR剛性は鎖に沿ってどのように伝播するか？
• RQ3 リーヴィ形式の符号差が有界であるとき、$SU(\ell,m)$-軌道間の正則写像の構造はどのようになるか？
• RQ4 Ng [Ng12] で用いられたリフト技術は、源と終域の最大複素部分多様体が異なる場合に一般化可能か？
• RQ5 $SU(\ell',m')$-軌道への正則写像が、標準的埋め込みと部分グラスマンニアンへの定数写像に因数分解されるのはいつか？

主な発見

• $q > 1$ かつ $|\ell' - q'| < 2(\ell - q)$ であれば、任意の滑らかな横断的CR埋め込み $f: S_{q,p}^\ell \to S_{q',p'}^{\ell'}$ は、$z \mapsto (f_1(z), f_2(z))$ の形に因数分解され、ここで $f_1$ は $Gr(q',L)$ への標準的埋め込みであり、$f_2$ は $\dim N \leq \ell' - \ell + q$ を満たす $Gr(q',N)$ への写像である。
• 追加の条件 $q' \times (\ell' - \ell + q - q') < q \times (\ell - q)$ が満たされれば、写像 $f_2$ は定数となるため、全体の写像 $f$ は $Gr(q,p)$ から $Gr(q',p')$ への標準的埋め込みとして拡張可能である。
• 因数分解結果は、Ngの[Ng12]の結果（$q = q'$ かつ $\ell = \ell'$ を要件としていた）を、最大複素部分多様体が異なる場合に一般化したものである。
• 証明は、動的フレーム法および $SU(\ell',m')$-不変ヘルミート形式に関する接空間の直交分解に依拠している。
• 埋め込みの像は完全測地的部分グラスマンニアンに含まれており、法空間の構造のおかげで写像は特徴的バンドル構造を保存する。
• 上記の符号および次元制約のもとで、このような軌道間の正則写像は剛性を持ち、グローバルに標準的埋め込みとして拡張可能であることが確認された。