[論文レビュー] Holomorphic Poisson Structures and Groupoids

Camille Laurent-Gengoux, Mathieu Stiénon+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2007

Advanced Topics in Algebra参考文献 28被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、正則ポアソン多様体のための実ポアソン幾何学的枠組みを確立し、正則ポアソン構造がポアソン・ニエンヒュイズ構造に対応することを示し、正則ポアソンコホモロジーのための二重複体を導入している。主な結果として、正則リーライブロイドは複素リーライブロイドのマッチドペアと同値であり、正則リーライブロイドの可積分性は、クレインイク＝フェルナンデスの基準により、それらの下位の実リーライブロイドの可積分性に還元される。

ABSTRACT

We study holomorphic Poisson manifolds, holomorphic Lie algebroids and holomorphic Lie groupoids from the viewpoint of real Poisson geometry. We give a characterization of holomorphic Poisson structures in terms of the Poisson Nijenhuis structures of Magri-Morosi and describe a double complex which computes the holomorphic Poisson cohomology. A holomorphic Lie algebroid structure on a vector bundle $A o X$ is shown to be equivalent to a matched pair of complex Lie algebroids $(T^{0,1}X,A^{1,0})$, in the sense of Lu. The holomorphic Lie algebroid cohomology of A is isomorphic to the cohomology of the elliptic Lie algebroid $T^{0,1}X\bowtie A^{1,0}$. In the case when $(X,\pi)$ is a holomorphic Poisson manifold and $A=(T^*X)_\pi$, such an elliptic Lie algebroid coincides with the Dirac structure corresponding to the associated generalized complex structure of the holomorphic Poisson manifold. We also show that a holomorphic Lie algebroid is integrable if, and only if, its underlying real Lie algebroid is integrable. Thus the integrability criteria of Crainic-Fernandes do also apply in the holomorphic context without any modification.

研究の動機と目的

• 正則ポアソン構造を実ポアソン幾何学およびポアソン・ニエンヒュイズ形式的枠組みを用いて特徴付けること。
• 正則ポアソンコホモロジーを計算するための二重複体を構築すること。
• 正則リーライブロイドと複素リーライブロイドのマッチドペアとの間の同値関係を確立すること。
• 正則リーライブロイドコホモロジーが、関連する楕円型リーライブロイドのコホモロジーと一致することを示すこと。
• 正則リーライブロイドが、かつてその下位の実リーライブロイドが可積分である場合に限り可積分であることを証明すること。

提案手法

• マグリ＝モロージのポアソン・ニエンヒュイズ構造フレームワークを用いて、正則ポアソン構造を特徴付ける。
• その全コホモロジーが正則ポアソンコホモロジーを計算する二重複体を構成する。
• ルのマッチドペアのリーライブロイド理論を適用し、正則リーライブロイドと複素リーライブロイドのペアとの関係を確立する。
• 正則リーライブロイド $A \to X$ の関連構造として、楕円型リーライブロイド $T^{0,1}X \bowtie A^{1,0}$ を定義する。
• 実リーライブロイドのクレインイク＝フェルナンデスの可積分性基準を用いて、可積分性結果を正則設定に拡張する。
• 正則リーライブロイドコホモロジーと楕円型リーライブロイドのコホモロジーとの間の同型を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則ポアソン構造は、実ポアソン幾何学の枠組みの中でどのように特徴付けられるか？
• RQ2 ポアソン・ニエンヒュイズ構造は、正則ポアソン多様体を記述する上で果たす役割は何か？
• RQ3 正則リーライブロイドのコホモロジーは、関連する楕円型リーライブロイドのコホモロジーとどのように関係するか？
• RQ4 正則リーライブロイドが複素リーライブロイドのマッチドペアと同値である、という意味は何か？
• RQ5 正則リーライブロイドが可積分であるための条件は何か、そしてそれはその下位の実リーライブロイドとどのように関係するか？

主な発見

• 正則ポアソン構造は、実ポアソン幾何学の枠組みにおいて、ポアソン・ニエンヒュイズ構造として特徴付けられる。
• 正則ポアソンコホモロジーを計算する二重複体が構成された。
• ルの意味での複素リーライブロイドのマッチドペアとの間の同値関係が、正則リーライブロイドに対して示された。
• 正則リーライブロイドのコホモロジーは、楕円型リーライブロイド $T^{0,1}X \bowtie A^{1,0}$ のコホモロジーと同型である。
• $(X,\pi)$ が正則ポアソン多様体で $A = (T^*X)_\pi$ のとき、関連する楕円型リーライブロイドは、$X$ 上の一般化された複素構造のディラック構造と一致する。
• 正則リーライブロイドが可積分であるための必要十分条件は、その下位の実リーライブロイドが可積分であることであり、クレインイク＝フェルナンデスの可積分性基準が正則設定においても直接適用可能である。