[論文レビュー] Holomorphic Principal Bundles Over Elliptic Curves III: Singular Curves and Fibrations

Robert Friedman, John W. Morgan|ArXiv.org|Aug 15, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、特異な楕円曲線およびワイエルシュトラス型立方曲線の族へ、正則G-バンドルの放物的還元法を拡張し、底空間上への重み付き射影空間バンドルとして相対的モジュライ空間を構成する。カシミール重みの出現について概念的な説明を提供し、随伴商のコンパクト化を通じてコスタントおよびシュタインベルクのセクションを一般化する。

ABSTRACT

Let G be a simple and simply connected complex linear algebraic group. In this paper, we discuss the generalization of the parabolic construction of holomorphic principal G-bundles over a smooth elliptic curve to the case of a singular curve of arithmetic genus one and to a fibration of Weierstrass cubics over a base B. Except for G of type E_8, the method gives a family of weighted projective spaces associated to a sum of line bundles over B. Working with the universal family of Weierstrass curves over affine two-space and its natural C^*-action, we determine the line bundles that arise in the direct sum in terms of the Casimir weights of the group. We show that in the case of a cuspidal or nodal curve C, provided that G is not of type E_8 or C is not cuspidal, the parabolic construction is closely related to constructions of Kostant and Steinberg of sections for the adjoint quotient morphism of the group G or its Lie algebra, and that moreover it gives a compactification of the adjoint quotient. We describe how the construction may be modified for E_8. Finally, given an irreducible representation of G, we characterize the G-bundles arising from the parabolic construction such that the associated vector bundle is unstable.

研究の動機と目的

• 滑らかな楕円曲線から特異な曲線および楕円ファイブレーションへの、正則G-バンドルの放物的還元法の拡張。
• ワイエルシュトラス型立方曲線ファイブレーションの族上のG-バンドルの相対的モジュライ空間を構成し、それが底空間上への重み付き射影空間バンドルであることを示す。
• モジュライ構成におけるカシミール重み $d_i = m_i + 1$（$m_i$ は $G$ の指数）の出現について、概念的な説明を提供する。
• ノード型およびカスプ型の特異ファイバーにおける放物的構成の振る舞いを理解し、随伴商およびそのコンパクト化と関連付ける。
• 特異曲線上の放物的構成への変形を通じて、随伴商のコスタントおよびシュタインベルクのセクションを一般化する。

提案手法

• 最大放物部分群 $P \subset G$ を用い、その未決定部分群 $U$ とレヴィ因子 $L$ を導入し、G-バンドルの構造群を $P$ に還元する。
• 非アーベルコhomology $H^1(E; U(\eta_0))$ を用いて $P$-バンドルを構成する。ここで $\eta_0$ は $\mathcal{O}_E(-p_0)$ をディターミナントとする標準的な $L$-バンドルである。
• コホモロジーを線形化し、$H^1(E; \mathfrak{u}(\eta_0))$ を研究する。これは負の次数の半安定ベクトルバンドルに分解される。
• $H^1(E; U(\eta_0))$ が重み $g_i$ を持つ $\mathbb{C}^*$-作用を備え、その商が重み付き射影空間であることを示す。
• 特異ファイバーおよびワイエルシュトラス型立方曲線の族 $\pi: Z \to B$ への構成を拡張する。直接像 $\mathcal{L} = R^0\pi_*\omega_{Z/B}$ を分析する。
• 相対的モジュライ空間を、$\mathcal{O}_B \oplus \mathcal{L}^{-d_1} \oplus \cdots \oplus \mathcal{L}^{-d_r}$ に付随する重み付き射影空間バンドルとして構成する。ここで $d_i = m_i + 1$ はカシミール重みである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 G-バンドルに対する放物的還元法は、特異な楕円曲線およびワイエルシュトラスファイブレーションの族においてどのように振る舞うか？
• RQ2 相対的モジュライ空間の構成において、なぜカシミール重み $d_i = m_i + 1$ が自然に現れるのか？
• RQ3 随伴商のシュタインベルクおよびコスタントのセクションは、滑らかな曲線上の放物的構成への退化として理解できるか？
• RQ4 モジュライ空間における不安定G-バンドルの集合は何か？また、より小さい群からの放物的誘導とどのように関係するか？
• RQ5 $\mathbb{C}^*$-作用が未決定バンドルのコホモロジーに与える影響は、どのように重み付き射影空間構造を導くのか？

主な発見

• G が $E_8$ 型でない限り、ワイエルシュトラス型立方曲線ファイブレーションの族上のG-バンドルの相対的モジュライ空間は、底空間 $B$ 上の重み付き射影空間バンドルである。
• 重み付き射影空間バンドルの重みは、$G$ の指数 $m_i$ に対応するカシミール重み $d_i = m_i + 1$ であり、線分束 $\mathcal{L} = R^0\pi_*\omega_{Z/B}$ がねじれを決定する。
• G = E_8 の場合、適切な放物的還元が存在しないため、重み付き射影空間バンドルとしての相対的モジュライ空間の構成は失敗する。
• 最小分岐表現における関連するベクトルバンドルが不安定となるG-バンドルの集合は、放物的誘導から生じる有理曲線としてモジュライ空間に現れる。
• G = Spin(10) の場合、27次元表現における不安定な部分は、$\mathbb{WP}(Spin(10))$ 内の有理曲線 $\Gamma$ に対応し、$\mathbb{WP}(Spin(10)) \to \mathbb{WP}(G)$ による像は $\mathbb{WP}(G)$ 内の有理曲線である。
• G = E_7 の場合、不安定なG-バンドルは、$\mathbb{WP}(E_6) \to \mathbb{WP}(E_7)$ の2:1射影 $\mathbb{WP}(E_6) \to \mathbb{WP}(E_7)$ による有理曲線 $\Gamma$ の像として得られ、すべての非自明な表現で不安定である。