[論文レビュー] Holomorphic Structure of Middle Bol Loops

Tèmítọ́pẹ́ Gbọ́láhàn Jaíyéọlá, Sunday Peter David+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2018

Mathematics and Applications被引用数 5

ひとこと要約

本稿では中間ボル環のホロモーフ構造を調査し、可換中間ボル環のホロモーフが可換であるための必要十分条件として、その自己同型群がアーベル群であり、かつ中間正則写像群および右乗法群の両部分群であることを特定している。主な結果として、ホロモーフ的不変性が中間ボル環とその対応する右または左ボル環との間の同型変換において可換性と柔軟性が必要十分条件であることが示され、自己同型恒等式と群論的制約を用いて、結合ホロモーフと標準ホロモーフの等価性に関する明確な条件が導出されている。

ABSTRACT

A loop $(Q,\cdot,\backslash,/)$ is called a middle Bol loop if it obeys the identity $x(yz\backslash x)=(x/z)(y\backslash x)$. To every right (left) Bol loop corresponds a middle Bol loop via an isostrophism. In this paper, the structure of the holomorph of a middle Bol loop is explored. For some special types of automorphisms, the holomorph of a commutative loop is shown to be a commutative middle Bol loop if and only if the loop is a middle Bol loop and its automorphism group is abelian and a subgroup of both the group of middle regular mappings and the right multiplication group. It was found that commutativity (flexibility) is a necessary and sufficient condition for holomorphic invariance under the existing isostrophy between middle Bol loops and the corresponding right (left) Bol loops. The right combined holomorph of a middle Bol loop and its corresponding right (left) Bol loop was shown to be equal to the holomorph of the middle Bol loop if and only if the automorphism group is abelian and a subgroup of the multiplication group of the middle Bol loop. The obedience of an identity dependent on automorphisms was found to be a necessary and sufficient condition the left combined holomorph of a middle Bol loop and its corresponding left Bol loop to be equal to the holomorph of the middle Bol loop.

研究の動機と目的

• 中間ボル環のホロモーフ構造と、その右ボル環および左ボル環との同型変換における不変性を調査すること。
• 可換中間ボル環のホロモーフが可換となるための必要十分条件を特定すること。
• 中間ボル環とその対応するボル環との右または左結合ホロモーフが、中間ボル環の標準ホロモーフと等しくなる条件を同定すること。
• 結合ホロモーフと標準ホロモーフの構造的同型を保証する自己同型に関する恒等式を確立すること。

提案手法

• 中間ボル環と右/左ボル環の間の同型変換を用い、Gvaramiya (1971) の結果に基づき、任意の中間ボル環が特定の操作 x ◦ y = (y · x y⁻¹) y を用いて右または左ボル環から導出されることを根拠とする。
• ホロモーフを自己同型群とループ自体の半直積として定義し、乗法則を (α, x) ⊙ (β, y) = (αβ, xβ · y) と定める。
• 右結合ホロモーフを、自己同型群とループの積集合上の二項演算として、共役作用と群作用を用いて定義する：(α, x)(∗,·)(β, y) = {(β, y) ⊙ [(α, x) ⊙ (β, y)⁻¹]} ⊙ (β, y)。
• 左結合ホロモーフを、異なる共役構造を用いて定義する：(α, x)[∗,·](β, y) = (β, y) ⊙ {[(β, y)⁻¹ ⊙ (α, x)] ⊙ (β, y)}。
• 左移動写像 (Lx) および右移動写像 (Ry)、それらの逆写像、自己同型を含む群論的恒等式を適用し、結合ホロモーフと標準ホロモーフの等価性に関する条件を導出する。
• 左ボル環から導出される中間ボル環に対しては恒等式 x ∗ y = y(y⁻¹x · y) を、右ボル環から導出される中間ボル環に対しては x ∗ y = (y · x y⁻¹) y を用い、同型変換構造間の演算を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可換中間ボル環のホロモーフが可換となる条件は何か？
• RQ2 中間ボル環とその対応する右ボル環との右結合ホロモーフが、中間ボル環のホロモーフと等しくなる条件は何か？
• RQ3 中間ボル環とその対応する左ボル環との左結合ホロモーフが、中間ボル環のホロモーフと等しくなる条件は何か？
• RQ4 中間ボル環とその対応する右または左ボル環との間の同型変換におけるホロモーフ的不変性を保証する自己同型恒等式は何か？

主な発見

• 可換中間ボル環のホロモーフが可換であるための必要十分条件は、その自己同型群がアーベル群であり、かつ中間正則写像群および右乗法群の両部分群であること。
• 中間ボル環とその対応する右（または左）ボル環との間の同型変換におけるホロモーフ的不変性の必要十分条件は可換性である。
• 中間ボル環とその対応する右ボル環との右結合ホロモーフが中間ボル環のホロモーフと等しくなるための必要十分条件は、自己同型群がアーベル群であり、かつ中間ボル環の乗法群の部分群であること。
• 中間ボル環とその対応する左ボル環との左結合ホロモーフが中間ボル環のホロモーフと等しくなるための必要十分条件は、すべての y ∈ Q、z ∈ Q、φ ∈ A(Q, ·) に対して L⁻¹_y R_y L_y = L⁻¹_yφ R_y L_yφ が成り立つことであり、これはすべての y, z ∈ Q および φ ∈ A(Q, ·) に対して y⁻¹φ · y(zy) = (yz · y⁻¹φ)y が成り立つことと同値である。
• 元の左ボル環の柔軟性が、左ボル環のホロモーフが対応する中間ボル環のホロモーフと同型であるための必要十分条件である。
• 中間ボル環の自己同型群がアーベル群であるための必要十分条件は、そのループが可換であり、かつ恒等式 x(yz\x) = (x/z)(y\x) を満たすことである。