[論文レビュー] Holomorphic submanifolds of some hypercomplex manifolds with Hermitian and Norden metrics

Galia Nakova, Hristo Manev|arXiv (Cornell University)|May 8, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、超複素多様体にホルモルフィックな部分多様体を研究し、その上にヘルミートおよびノルデン計量が備わっており、局所的に超ケーラー多様体と同相であるものに焦点を当てている。部分多様体が完全にアンビエントな多様体のリー1形式を用いて、全縁的または全測地的であるための必要十分条件を確立し、これらの部分多様体の明示的例を構成している。

ABSTRACT

In this paper we initiate the study of submanifolds of almost hypercomplex manifolds with Hermitian and Norden metrics. Object of investigations are holomorphic submanifolds of the hypercomplex manifolds which are locally conformally equivalent to the hyper-Kähler manifolds of the considered type. Necessary and sufficient conditions the investigated holomorphic submanifolds to be totally umbilical or totally geodesic are obtained. Examples of the examined submanifolds are constructed.

研究の動機と目的

• ほぼ超複素多様体にヘルミートおよびノルデン計量を備えた部分多様体の研究を開始すること。
• このタイプの多様体に局所的に超ケーラー多様体と同相であるクラス $ abla{ m W}$ に属するホルモルフィック部分多様体を特徴付けること。
• このようなホルモルフィック部分多様体が全縁的または全測地的であるための必要十分条件を特定すること。
• この幾何的設定におけるホルモルフィック部分多様体の明示的例を構成すること。

提案手法

• 局所的に超ケーラー多様体と同相であるクラス $ abla{ m W}$ に属するアンビエント多様体 $(ar{M}, H, G)$ のホルモルフィック部分多様体 $M$ を分析する。
• 中立計量 $g$ のリーマン接続 $ abla$ を用い、$eta = 1,2,3$ に対して $F_eta(X,Y,Z) = g(( abla_X J_eta)Y, Z)$ により基本テンソル $F_eta$ を定義する。
• アンビエント多様体 $ar{M}$ に関連するリー1形式 $ar{ heta}_eta$ を導入し、これらは部分多様体の幾何的性質を特徴付ける上で不可欠である。
• 積多様体構造における接束の分解 $Tar{M} = TM imes TM'$ を用いて例を構成する。
• 式 (3.5) および (3.6) を用いて、アンビエント空間とその部分多様体の間の基本テンソルとリー1形式の関係を導出する。
• 曲率および構造的性質を部分多様体間で関連付けるために、$ar{F}_eta(ar{X},ar{Y},ar{Z}) = F_eta(X,Y,Z) + F_eta'(X',Y',Z')$ の条件を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アンビエント多様体 $ar{M}$ が $ abla{ m W}$-多様体であるとき、ホルモルフィック部分多様体 $M$ が自身で $ abla{ m W}$-多様体または $ abla{ m K}$-多様体であるための条件は何か？
• RQ2 ホルモルフィック部分多様体 $M$ が全縁的または全測地的であるためのリー1形式 $ar{ heta}_eta$ の必要十分条件は何か？
• RQ3 部分多様体 $M$ の幾何的性質（例えば縁的または測地的）は、特に $ar{M}$ が $ abla{ m W}$ に属する場合、アンビエント多様体 $ar{M}$ の構造にどのように依存するか？
• RQ4 $ abla{ m K}$-多様体のホルモルフィック部分多様体は全測地的になり得るか？このような部分多様体はどのように特徴づけられるか？
• RQ5 この幾何的設定におけるホルモルフィック部分多様体の明示的構成法は何か？また、それらの曲率および構造テンソルはどのように振る舞うか？

主な発見

• アンビエント多様体 $ar{M}$ が $ abla{ m W}$-多様体であるとき、そのホルモルフィック部分多様体 $M$ は、法束上でリー1形式 $ar{ heta}_eta$ の消滅の有無に応じて、$ abla{ m W}$-多様体または $ abla{ m K}$-多様体である。
• アンビエント多様体 $ar{M}$ が $ abla{ m W}$-多様体であるとき、ホルモルフィック部分多様体 $M$ が全縁的であるための必要十分条件は、リー1形式 $ar{ heta}_eta$ が法束 $TM^ot$ 上で非ゼロであることであり、全測地的であるための必要十分条件は、$ar{ heta}_eta$ が $TM^ot$ 上で消えることである。
• $ abla{ m K}$-多様体の任意のホルモルフィック部分多様体は全測地的であり、$ abla{ m K}$-構造を引き継ぐ。
• $ abla{ m W}$-多様体に含まれる任意のホルモルフィック $ abla{ m K}$-部分多様体は全縁的である。
• 積構成 $ar{M} = M imes M'$ において、$M$ が $ abla{ m K}$-多様体で $M'$ が $ abla{ m W}$-多様体であるとき、部分多様体 $M$ は全縁的であり、$M'$ は全測地的である。
• アンビエント多様体 $ar{M}$ のリー1形式 $ar{ heta}_eta$ は $ar{ heta}_eta(ar{Z}) = heta_eta(Z) + heta_eta'(Z')$ のように分解され、これが部分多様体の幾何的タイプを決定する。