[論文レビュー] Holomorphic vector bundles on non-algebraic surfaces

Andrei Teleman, Matei Toma|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2002

Geometry and complex manifolds参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、非代数的表面における正則ベクトル束の存在問題を解決し、非代数的 K3 表面におけるランク 2 ベクトル束、および既知のクラス VII 表面における任意ランクのベクトル束が、正則構造を持つための必要十分条件を示している。その条件は、第一 Chern 類が Néron-Severi 群に属し、判別式が m(r,a) 不変量を含む特定の不等式を満たすことである。証明は Donaldson 理論、変形理論、および 4-多様体上のインスタントンのモジュライ空間の性質を組み合わせている。

ABSTRACT

The existence problem for holomorphic structures on vector bundles over non-algebraic surfaces is in general still open. We solve this problem in the case of rank 2 vector bundles over K3 surfaces and in the case of vector bundles of arbitrary rank over all known surfaces of class VII. Our methods, which are based on Donaldson theory and deformation theory, can be used to solve the existence problem of holomorphic vector bundles on further classes of non-algebraic surfaces.

研究の動機と目的

• 非代数的表面上の複素ベクトル束における正則構造の存在という長年の未解決問題を解消すること。
• 非代数的 K3 表面上のランク 2 ベクトル束における正則構造の存在を、明確な位相的およびコhomological 条件で特徴づけること。
• b2=0 または有理曲線を含むものも含めた、すべての既知のクラス VII 表面における任意ランクのベクトル束に対し、存在基準を拡張すること。
• 正則構造の存在が、位相的不変量（c1, Δ）および m(r,a) 不変量によって決定されることを示すこと、特に非代数的表面の文脈において。
• クラス VII 表面において、一般の正則構造と同等の条件下で、分解可能（filtrable）正則構造が存在することを示し、吹き増しホフス面への変形理論的還元を用いること。

提案手法

• ランク 2 ベクトル束における正則構造の存在を検出する PU(2)-束に関連する多項式不変量 qP(X) の非消滅を、Donaldson 理論を用いて分析すること。
• 特に Atiyah 列とコhomology 群 H^i(X, Σ) を通じて、クラス VII 表面上のベクトル束の正則構造のモジュライを変形理論で分析すること。
• NS(X) 内のクラス a の有理的分解に関する下限として定義される m(r,a) 不変量を用いること。非代数的表面ではこの不変量は非負である。
• 有理曲線を含むクラス VII 表面における存在問題を、小刻みの変形と性質 P_r の利用により、吹き増しホフス面のケースに還元すること。
• 吹き増しによる Chern 類の引き戻しを用いて、Δ(E) − m(r, c1(E)) の値を異なる表面間で比較し、適切な変形の下で単調増加であることを証明すること。
• クラス VII 表面では H^2(X, End(E)) = 0 および H^2(X, Θ_X) = 0 が成り立つことを利用し、変形空間の滑らかさと変形写像の下りの性質を保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非代数的 K3 表面上のランク 2 の微分可能複素ベクトル束が、いつ正則構造を持つのか。
• RQ2 既知のクラス VII 表面上の任意ランクのベクトル束における正則構造の存在は、位相的不変量によって特徴づけられるか。
• RQ3 m(r,a) 不変量が非代数的表面における正則構造の存在をどの程度制御するか。
• RQ4 Donaldson 不変量 qP(X) の非消滅は、ランク 2 ベクトル束における正則構造の存在とどのように関係するか。
• RQ5 クラス VII 表面において、正則構造の存在が、分解可能な正則構造の存在と同値であるか。

主な発見

• 非代数的 K3 表面 X 上のランク 2 ベクトル束 E に対して、E が正則構造を持つための必要十分条件は、c1(E) ∈ NS(X) かつ Δ(E) ≥ min(6, m(2, c1(E))) であり、a(X) = 0、Δ(E) = 4、c1(E) ∈ 2NS(X) の場合を除く。この例外の場合には正則構造は存在しない。
• 非代数的 K3 表面上のランク 2 ベクトル束に対して、E が分解可能な正則構造を持つための必要十分条件は、c1(E) ∈ NS(X) かつ Δ(E) ≥ m(2, c1(E)) である。
• b2=0 または有理曲線を含むすべての既知のクラス VII 表面において、ランク r ベクトル束 E が正則構造を持つための必要十分条件は、c1(E) ∈ NS(X) かつ Δ(E) ≥ m(r, c1(E)) である。
• クラス VII 表面における正則構造の存在は、分解可能な正則構造の存在と同値である。これは、吹き増しホフス面への変形と P_r 性質の利用によって示された。
• 非代数的表面では m(r,a) 不変量は非負整数であり、与えられた Chern 類 a に対して正則構造が存在するための最小判別式を定量化する。
• 証明により、Δ(E) − m(r, c1(E)) の差は適切な変形の下で非減少であることが示され、これにより問題が極小モデルおよび既知のケースに還元可能である。