[論文レビュー] Holomorphicity and Walczak formula on Sasakian manifolds

Vasile Brînzănescu, Radu Slobodeanu|ArXiv.org|Jul 15, 2004

Geometry and complex manifolds参考文献 7被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、ほぼ接触計量多様体における正則性の概念を導入することで、Sasakian 構造に対して Walczak 公式および Bochner 型の結果の類似を確立する。分布が正則的かつ可積分であるとき、Walczak 公式は著しく簡略化され、Bochner 型の結果が得られる：混合スカラー曲率が $ s_{\text{mix}} \geq 2(n-p) $ を満たすならば、その foliation のコンパクトな葉は完全測地的であり、そのような葉が存在する場合には等号が成立する。

ABSTRACT

Walczak formula is a very nice tool for understanding the geometry of a Riemannian manifold equipped with two orthogonal complementary distributions. Svensson [7] has shown that this formula simplifies to a Bochner type formula when we are dealing with Kähler manifolds and holomorphic (integrable) distributions. Here, with adapted notions as invariant distribution and (contact) holomorphicity, we derive the special form of the Walczack formula on a Sasaki manifold. Then we apply a standard Bochner argument in the study of (contact) holomorphic distributions. Some other applications for (pseudo)harmonic morphisms on a Sasaki manifolds are outlined.

研究の動機と目的

• ケーラー幾何における Walczak 公式の簡略化を Sasakian 多様体へ拡張すること。
• ほぼ接触計量多様体における正則性を定義し、特にそのコーン上の横断的正則構造との関係を考察すること。
• Sasakian 多様体上の調和写像および foliation に対する幾何的帰結を確立すること、特にファイバーの最小性および完全測地性に関するもの。
• (φ,J)-正則的準同型を用いて Sasakian 多様体から Kähler 多様体への写像を特徴づけること：最小ファイバーをもつ擬横断的同調写像であり、複素部分多様体の逆像は不変である。

提案手法

• 正則ベクトル場を満たす条件 $ \phi B^{\mathcal{V}}(U,V) = B^{\mathcal{V}}(U,\phi V) $ を用いて、ほぼ接触計量多様体上の正則的分布の概念を導入する。
• Sasakian 構造の正規性条件 $ (\nabla_X \phi)Y = g(X,Y)\xi - \eta(Y)X $ を用いて、曲率および第二基本形式の恒等式を導出する。
• 2つの直交的かつ補完的な分布 $ \mathcal{V} $ および $ \mathcal{H} $ に対して Walczak 公式を適用し、正則性および可積分性の仮定の下でそれを簡略化する。
• 正則的分布に対して $ \mathrm{trace} B^{\mathcal{V}} = 0 $ という重要な恒等式を導出し、第二基本形式のトレースの消滅を導く。
• Walczak 公式の簡略化を用いて、可積分性の下で Bochner 型の結果 $ \mathrm{div}^{\mathcal{V}} \mathrm{trace} B^{\mathcal{H}} + 2(n-p) = s_{\text{mix}} + |B^{\mathcal{V}}|^2 $ を得る。
• (φ,J)-正則的準同型を用いて Sasakian 多様体から Kähler 多様体への写像が、最小ファイバーをもつ擬横断的同調写像であり、複素部分多様体の逆像が不変であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン多様体上の直交する分布に対する Walczak 公式は、Sasakian 幾何の文脈でどのように簡略化されるか？
• RQ2 ほぼ接触計量多様体上での分布およびベクトル場の正則性の幾何的意味は何か？
• RQ3 Sasakian 多様体上の正則的 foliation が完全測地的であるコンパクトな葉をもつ条件は何か？
• RQ4 Sasakian 多様体から Kähler 多様体への (φ,J)-正則的準同型の幾何的性質は何か？
• RQ5 Sasakian 多様体のコーン上の横断的正則構造は、底多様体上の正則性とどのように関係するか？

主な発見

• Sasakian 多様体上に正則的かつ可積分な分布 $ \mathcal{V} $ が存在するとき、Walczak 公式は $ \mathrm{div}^{\mathcal{V}} \mathrm{trace} B^{\mathcal{H}} + 2(n-p) + \frac{1}{4}|I^{\mathcal{V}}|^2 = s_{\text{mix}} + |B^{\mathcal{V}}|^2 $ に簡略化される。
• 可積分な正則的 foliation の場合、公式はさらに $ \mathrm{div}^{\mathcal{V}} \mathrm{trace} B^{\mathcal{H}} + 2(n-p) = s_{\text{mix}} + |B^{\mathcal{V}}|^2 $ に簡略化され、これは Bochner 型の恒等式である。
• $ s_{\text{mix}} \geq 2(n-p) $ ならば、正則的 foliation の任意のコンパクトな葉は完全測地的であり、そのような葉が存在する場合には等号 $ s_{\text{mix}} = 2(n-p) $ が成立する。
• $ s_{\text{mix}} > 2(n-p) $ ならば、コンパクトな葉は存在できず、正則的 foliation に対するトポロジカルな障害が得られる。
• 任意の (φ,J)-正則的準同型を用いて Sasakian 多様体から Kähler 多様体への写像は、最小ファイバーをもつ擬横断的同調写像である。
• 目標の Kähler 多様体内の任意の複素部分多様体の逆像は、Sasakian 多様体上の最小で、$ \phi $-不変な部分多様体である。