[論文レビュー] Holonomic approximation and Gromov's h-principle

Yakov Eliashberg, N. Mishachev|ArXiv.org|Jan 23, 2001

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、微分位相幾何学におけるh-原理を統一的に証明するための一般化されたホロノミック近似定理を導入する。任意のジャンルバンドルの切断が、正の余次元をもつわずかに変形された部分多様体の近傍で、$C^0$-近似によってホロノミック切断に近似可能であることを示すことにより、著者たちはグロモフのh-原理および関連する結果を直接的な推論として得る。これは、開多様体上の柔軟な幾何構造の基礎的アプローチを著しく簡素化する。

ABSTRACT

In 1969 M. Gromov in his PhD thesis greatly generalized Smale-Hirsch-Phillips immersion-submersion theory by proving what is now called the h-principle for invariant open differential relations over open manifolds. Gromov extracted the original geometric idea of Smale and put it to work in the maximal possible generality. Gromov's thesis was brought to the West by A. Phillips and was popularized in his talks. However, most western mathematicians first learned about Gromov's theory from A. Haefliger's article. The current paper is devoted to the same subject as the papers of Gromov and Haefliger. It seems to us that we further purified Smale-Gromov's original idea by extracting from it a simple but very general theorem about holonomic approximation of sections of jet-bundles (see Theorem 1.2.1 below). We show below that Gromov's theorem as well as some other results in the h-principle spirit are immediate corollaries of Theorem 1.2.1.

研究の動機と目的

• ジャンルバンドルに対する新しい普遍的な近似定理を用いて、グロモフのh-原理の基礎的枠組みを一般化・簡素化すること。
• インマージョン、サブミッション、シンプレクティック埋め込み定理といったh-原理プログラムの主要結果が、単一の一般近似原理から直ちに導かれることが示されること。
• 非ホロノミック切断をホロノミックなものに近似する、明確で幾何的に直感的な方法を、特に正の余次元をもつ部分多様体の近傍で確立すること。
• パラメトリックおよび相対的設定への理論の拡張により、写像の族や葉付き多様体への応用が可能になること。
• ホロノミック近似原理の広範な適用可能性を示すことにより、マイクロ・フレキシブルおよび不変微分関係の理論の基盤を築くこと。

提案手法

• コアとなる手法は、正の余次元をもつ多面体の近傍で、滑らかな多様体上の$r$-ジャンルバンドルの切断に対して有効なホロノミック近似定理を定式化することである。
• 著者たちは、元の切断$F$を$C^0$-位相で近似できるように、領域を$C^0$-小さい微分同相写像$h$で変形し、$h(A)$の近傍にホロノミック切断を構成する。
• 証明は多面体$A$のスケルトンごとの帰納法に基づき、任意の切断が点の近傍でホロノミック（テイラー近似による）であるという事実を活用する。
• パラメトリックおよび相対的バージョンは、切断の族への構成の拡張により確立され、境界データに固定された状態を保ったまま微分同相写像と近似が整合するように保証される。
• 局所的な滑らかな座標系が基点に連続的に依存することを根拠に、局所的なホロノミック近似の構成が可能になる。
• この枠組みを応用することで、インマージョン、サブミッション、シンプレクティック構造など、さまざまな幾何的関係に対するh-原理が、近似定理に還元されることを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のジャンルバンドルの切断は、正の余次元をもつ部分多様体の近傍で、ホロノミック切断によって近似可能か？
• RQ2 h-原理は、個別的な構成に頼らず、単一の一般近似原理からどれほどまで導出可能か？
• RQ3 パラメトリックおよび相対的設定にホロノミック近似定理をどのように拡張し、写像の族や固定データを扱えるようにするか？
• RQ4 この近似法を用いて、開多様体上にシンプレクティック形式や接触形式といったどのような幾何構造を構成できるか？
• RQ5 特定の微分同相写像群（例えば、ファイバー方向を保存するもの）の下で不変な微分関係を扱うために、この定理をどのように適合可能にするか？

主な発見

• ホロノミック近似定理（定理1.2.1）により、正の余次元をもつ多面体$A$の近傍で定義された任意の切断$F$と任意の$ ho > 0$に対して、$C^0$-小さい微分同相写像$h$と$h(A)$上でのホロノミック切断$ ilde{F}$が存在し、$||\tilde{F} - F||_{C^0} < \rho$を満たすことが保証される。
• パラメトリック版（定理1.2.2）により、このような近似がパrameter空間$I^m$上で連続的に行え、パrameter立方体の境界上で近似が固定されることが保証される。
• 相対的バージョンは、$F$がすでに部分多面体$B \to A$上でホロノミックである場合、近似を$B$の近傍で固定できるように保証する。
• グロモフのh-原理（開多様体の場合）は、形式的解の存在がホロノミック解の存在を近似により導くことから、直ちに帰結される。
• この定理は、インマージョン、サブミッション、$k$-ミッション、分布への横断的接触、および開多様体上でのシンプレクティック・接触構造の構成といった広範な幾何的問題に適用可能である。
• マイクロ・フレキシブルおよび不変微分関係に対しても、この近似原理の一般化により、ファイバー方向の微分同相写像$t \to h(t)$を保存する関係へも応用可能である。