[論文レビュー] Holonomic gradient method for the distribution function of the largest root of a Wishart matrix

Hiroki Hashiguchi, Yasuhide Numata+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2012

Random Matrices and Applications参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、行列変数に関する合流超幾何関数 ${}_1F_1$ が満たす偏微分方程式（PDE）を活用して、ワイスマン行列の最大固有値の累積分布関数を計算するためのホロノミック勾配法（HGM）を導入する。この手法により、原点近辺の級数展開の収束制限を超えて、次元が10までで高精度な数値評価が可能となり、離散化誤差を制御できる。

ABSTRACT

We apply the holonomic gradient method introduced by Nakayama et al.(2011) to the evaluation of the exact distribution function of the largest root of a Wishart matrix, which involves a hypergeometric function 1F1 of a matrix argument. Numerical evaluation of the hypergeometric function has been one of the longstanding problems in multivariate distribution theory. The holonomic gradient method offers a totally new approach, which is complementary to the infinite series expansion around the origin in terms of zonal polynomials. It allows us to move away from the origin by the use of partial differential equations satisfied by the hypergeometric function. From numerical viewpoint we show that the method works well up to dimension 10. From theoretical viewpoint the method offers many challenging problems both to statistics and D-module theory.

研究の動機と目的

• 多変量統計における、ワイスマン行列の最大固有値の累積分布関数を評価する長年の計算的課題に取り組む。
• 特に大きな引数値において収束が遅いゾナル多項式の無限級数展開の問題を克服する。
• 超幾何関数 ${}_1F_1$ が満たすPDEを解くことで、原点から離れる数値的安定な手法を構築する。
• 次元10まででホロノミック勾配法の実行可能性と正確性を示す。
• 統計的多変量解析と$D$-モジュール理論の間の橋渡しを、革新的な計算的手法を通じて確立する。

提案手法

• ホロノミック勾配法を、ワイスマン行列の最大固有値の分布に現れる行列変数に関する超幾何関数 ${}_1F_1$ に適用する。
• ${}_1F_1$ が満たすホロノミック系から導かれる、1次線形PDE系（Pfaffian系）を用い、初期値から数値的積分を実行する。
• 初期値は原点周辺におけるゾナル多項式の級数展開により計算され、数値積分の出発点が得られる。
• PDE系は、R言語のdeSolveパッケージに含まれるODE積分器を用いて数値的に解き、原点から目的の引数値までの経路に沿って解を進める。
• 次元 $m=2$ においてR言語で実装され、PDE係数の導出には記号計算が用いられ、Gröbner基底技術を用いてホロノミック性の検証が行われた。
• 最終的な累積分布関数を得るため、ガンマ関数と指数関数項を用いて解を正規化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホロノミック勾配法は、ワイスマン行列の最大固有値分布の計算において、級数展開の代替手段として、数値的に安定かつ正確な手法を提供できるか？
• RQ2 特に大きな引数値において、HGMは無限級数展開と比較して、精度と収束速度の点でどの程度優れているか？
• RQ3 HGMが計算的に実行可能で正確な範囲の最大次元は何か？
• RQ4 $D$-モジュール理論を用いて、一般の $m$ に対してホロノミック系のアプローチを体系的に高次元のワイスマン分布に拡張できるか？
• RQ5 一般の $m$ に対してPfaffian系を構築・解く際の理論的および計算上の課題は何か？

主な発見

• ホロノミック勾配法は、次元が10までのワイスマン行列の最大固有値の累積分布関数を高精度に計算できる。
• この手法は、大きな引数値において収束が遅い級数展開とは異なり、数値離散化と初期値計算の誤差のみが誤差の要因となる。
• 次元 $m=2$ において、deSolveパッケージを用いたR言語での実装により、数値結果が既知の解析的形と整合することが確認された。
• Gröbner基底計算により、PDE系がホロノミックであることが示され、有限次元の解空間の存在が裏付けられた。
• 本手法は従来の手法と補完的である：自由度が小さい場合にラプラス近似が失敗するのに対し、本手法は優れた性能を示す。一方、原点付近では級数展開が有効である。
• 理論的解析により、微分作用素によって生成される左イデアルがホロノミックであることが確認され、明確に定義された有限次元の解空間の存在が保証された。