[論文レビュー] Holonomic Spaces

Pedro Solórzano|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、等長群と凸群ノルムを備えたノルム線形空間としてのホロノミック空間を導入し、その空間が局所的にユークリッド球面と等長であるような距離を定義する。リーマン多様体のホロノミー半径が正であることを証明し、Gromov-Hausdorff収束の研究にこの枠組みを応用する。

ABSTRACT

A holonomic space $(V,H,L)$ is a normed vector space, $V$, a subgroup, $H$, of $Aut(V, \|\cdot\|)$ and a group-norm, $L$, with a convexity property. We prove that with the metric $d_L(u,v)=\inf_{a\in H}\{\sqrt{L^2(a)+\|u-av\|^2}\}$, $V$ is a metric space which is locally isometric to a Euclidean ball. Given a Sasaki-type metric on a vector bundle $E$ over a Riemannian manifold, we prove that the triplet $(E_p,Hol_p,L_p)$ is a holonomic space, where $Hol_p$ is the holonomy group and $L_p$ is the length norm defined within. The topology on $Hol_p$ given by the $L_p$ is finer than the subspace topology while still preserving many desirable properties. Using these notions, we introduce the notion of holonomy radius for a Riemannian manifold and prove it is positive. These results are applicable to the Gromov-Hausdorff convergence of Riemannian manifolds.

研究の動機と目的

• 等長群と群ノルムを統合する幾何的構造—ホロノミック空間—を形式化すること。
• 局所的にユークリッド構造を誘導するような、線形空間上の距離を定義し、ホロノミー群の幾何的解析を可能とすること。
• 新しい距離枠組みを用いて、リーマン多様体におけるホロノミー半径の正値性を確立すること。
• この枠組みをリーマン多様体のGromov-Hausdorff収束の研究に応用すること。
• ホロノミー群上の$L_p$-誘導位相が部分位相よりも細かいが、重要な幾何的性質を保つことを示すこと。

提案手法

• ノルム線形空間$V$、$V$の等長群の部分群$H$、および凸群ノルム$L$からなるホロノミック空間$(V, H, L)$を定義する。
• 線形空間$V$上の距離$d_L(u,v) = \inf_{a \in H} \left\{ \sqrt{L^2(a) + \|u - a v\|^2} \right\}$を構成する。
• この距離が、$H$の局所構造と$L$の凸性により、$V$を局所的にユークリッド球面と等長にする、と証明する。
• Sasaki型距離を備えたベクトルバンドルにこの枠組みを適用し、$(E_p, \text{Hol}_p, L_p)$がホロノミック空間をなすことを示す。
• ホロノミー群$\text{Hol}_p$上に長さノルム$L_p$を定義し、誘導される位相が部分位相よりも細かいことを示す。
• 距離構造を用いて、リーマン多様体のホロノミー半径の正値性を定義および証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 等長群と群ノルムを備えたノルム線形空間に、局所的にユークリッド的となるような距離を定義可能か？
• RQ2 ベクトルバンドルの文脈において、ホロノミー群上の$L_p$-誘導位相は部分位相とどのように比較されるか？
• RQ3 リーマン幾何学におけるホロノミック空間構造から導ける幾何的不変量は何か？
• RQ4 提案された距離枠組みのもとで、リーマン多様体のホロノミー半径は正のままであるか？
• RQ5 この枠組みは、リーマン多様体のGromov-Hausdorff収束にどの程度応用可能か？

主な発見

• 距離$d_L(u,v) = \inf_{a \in H} \left\{ \sqrt{L^2(a) + \|u - a v\|^2} \right\}$は、線形空間$V$に局所的にユークリッド球面と等長な構造を付与する。
• Sasaki型距離を備えたベクトルバンドルに対して、三つ組$(E_p, \text{Hol}_p, L_p)$はホロノミック空間をなす。ここで$\text{Hol}_p$はホロノミー群、$L_p$は長さノルムである。
• $L_p$が誘導する$\text{Hol}_p$上の位相は、部分位相よりも厳密に細かいが、本質的な幾何的性質を保っている。
• ホロノミック空間枠組みを用いて、リーマン多様体のホロノミー半径が正であることが証明された。
• この枠組みは、ホロノミー構造に幾何的制約を埋め込むことで、Gromov-Hausdorff収束の解析に新たな分析的ツールを提供する。
• 群ノルム$L$の凸性により、距離$d_L$が適切な幾何的公理を満たす良好な距離関数であることが保証される。