[論文レビュー] Holonomy and monodromy groupoids

Ronald Brown, İlhan Içen+1 more|ArXiv.org|Oct 5, 2001

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、局所的にリー群コアのためのホロノミー群コアとモノドロミー群コアの普遍的で局所的から大域的への構成を提示し、古典的な葉層の不変量を一般化する。普遍的性質と局所的適応セクションを用いることで、モノドロミー群コアがホロノミー構成によってリー構造を備えることが示され、通常の商に基づくアプローチとは逆転させ、高次元への一般化を可能にする。

ABSTRACT

We outline the construction of the holonomy groupoid of a locally Lie groupoid and the monodromy groupoid of a Lie groupoid. These specialise to the well known holonomy and monodromy groupoids of a foliation, when the groupoid is just an equivalence relation.

研究の動機と目的

• 葉層の古典的ホロノミー群コアとモノドロミー群コアを、より広範な局所的にリー群コアの設定へ一般化すること。
• シェバリエのモノドロミー原理にインspiredされ、モノドロミー群コアを用いた局所的準同型を大域的準同型へ拡張する普遍的原理を確立すること。
• ホロノミー群コア構成が、モノドロミー群コアにリー構造を与える上で根本的であることを示し、逆にモノドロミーからホロノミーを導く通常のアプローチとは逆転させること。
• 局所的にリー群コアが微分幾何学およびリー理論における局所的幾何的構造を符号化するフレームワークとしての可能性を探索すること。
• n重群コアと分割の代数的逆元を用いたホロノミーとモノドロミーの高次元アナロジーのプログラムを開始すること。

提案手法

• 局所的にリー群コアを、単位元を含む部分集合Wを備えた群コアGとして定義し、Gの演算がW上で可能な限り滑らかになるように多様体構造を備えること。
• ホロノミー群コア Hol(G, W) を、Gの上群コアとして構成し、Wを開部分空間とし、普遍的性質によってリー構造を大域的に拡張すること。
• 局所的適応セクション（対象空間の開部分集合上で定義され、像がWに含まれ、終域写像による像が微分同相であるような源写像の滑らかなセクション）を用いて局所的手順を定義すること。
• このような局所的セクションによる左乗法を適用することで、開性と滑らかさを保ち、群コアへの群作用の概念を一般化すること。
• モノドロミー群コア M(G) を、Gの単位元におけるスターサブコアの普遍的被覆として定義し、局所的準同型に対して普遍的上昇性を持つこと。
• ホロノミー構成が、ホロノミーが非自明な場合でも、M(G) に必要な位相を提供し、それがリー群コアとなることを証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 葉層のホロノミー群コアとモノドロミー群コアは、任意の局所的にリー群コアへ、同値関係の枠組みを超えてどのように一般化可能か？
• RQ2 局所的適応セクションは、モノドロミー群コアのリー構造を構成する上で果たす役割は何か？
• RQ3 モノドロミー群コアは、局所的準同型の拡張の定義域として普遍的に特徴付けられるか？ そしてこれは古典的モノドロミー原理とどのように関係するか？
• RQ4 局所的にリー群コアとリー代数コアの関係は何か？ また、この概念は局所的幾何データを符号化するのにどれほど有用か？
• RQ5 n重群コアと分割の代数的逆元を用いたホロノミーとモノドロミーの高次元アナロジーの見通しは何か？

主な発見

• ホロノミーが非自明な場合でも、ホロノミー構成によってリー群コアGのモノドロミー群コアM(G)にリー群コア構造を導入できる。
• ホロノミー群コア Hol(G, W) はGの上群コアとして構成され、Wが開部分空間となり、局所的準同型を大域的準同型へ拡張する普遍的定義域として機能する。
• M(G) にリー構造を構成するには、ホロノミー群コアが不可欠に寄与しており、通常の商に基づくアプローチ（ホロノミーがモノドロミーから導かれる）とは逆転している。
• 局所的適応セクションは、群コアの演算における滑らかさと開性を保つために不可欠であり、位相的群における左乗法の役割を一般化する。
• M(G) の普遍的上昇性により、G上で定義された任意の局所的準同型が、M(G) 上の大域的準同型へ一意に拡張可能であり、一般化されたモノドロミー原理を実現する。
• このフレームワークは、n重群コアと分割の代数的逆元を用いた高次元アナロジーへの自然な道筋を示唆しており、非アーベルホモトピー論や主束の曲率と関連する可能性を秘めている。