[論文レビュー] Holonomy limits of complex projective structures

David Dumas|arXiv (Cornell University)|May 25, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 30被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、コンpakトなリーマン面における複素射影構造に関連するホロノミー表現の漸近的挙動を調査し、これらの表現のモーガン＝シャレン境界極限が、二次微分の水平foliation（添え字：foliation）に対応するR木によって双対化されるものであることを示している。主な結果として、零点がすべて単純な二次微分に対しては、ホロノミー極限が双対R木によって一意に表され、アーベル極限の場合には、対応するコhomology類に属する調和代表元を持つ正則1形式の平方でなければならないことが示されている。

ABSTRACT

We study the limits of holonomy representations of complex projective structures on a compact Riemann surface in the Morgan-Shalen compactification of the character variety. We show that the dual R-trees of the quadratic differentials associated to a divergent sequence of projective structures determine the Morgan-Shalen limit points up to a natural folding operation. For quadratic differentials with simple zeros, no folding is possible and the limit of holonomy representations is isometric to the dual tree. We also derive an estimate for the growth rate of the holonomy map in terms of a norm on the space of quadratic differentials.

研究の動機と目的

• 二次微分の空間からSL(2,C)のキャラクターバリエティへのホロノミー写像のスケールの大きな挙動を理解すること。
• キャラクターバリエティのモーガン＝シャレンコンパクト化におけるホロノミー表現の蓄積点を特徴づけること。
• 二次微分の幾何学とR木上の極限作用との関係を特定すること。
• プロジェクト固有極限が与えられた二次微分によって、極限R木が一意に決定される条件を確立すること。

提案手法

• モーガン＝シャレンコンパクト化を用いて、基本群上の長さ関数の射影的同値類として境界点を分析する。
• 二次微分に対応するR木から、ホロノミー極限を表す極限R木への-equivariantかつ全射的ストレート写像を構成する。
• -equivariant写像およびバスマン関数の理論を適用し、アーベル長さ関数とその関連作用を分析する。
• 視覚的拡張手続きを用いて、双曲3次元空間内の曲面とホロノミー表現を関連付ける。
• 双曲3次元空間における移動長のスケールを用い、二次微分φに対して||φ||^{1/2}の割合で増大することを示す。
• キュラーとモーガンの結果を応用し、アーベルの場合を除いて、長さ関数のR木実現が一意であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二次微分のノルムが発散する際、ホロノミー表現の極限挙動はいかなるものか？
• RQ2 二次微分の水平foliationに対応するR木は、ホロノミー表現のモーガン＝シャレン境界極限とどのように関係するか？
• RQ3 プロジェクト固有極限が与えられた二次微分によって、極限R木作用が一意に決定される条件は何か？
• RQ4 アーベル長さ関数はホロノミー表現の極限として生じ得るか？ もし可能ならば、それらは元の微分にどのような制約を課えるか？
• RQ5 二次微分のノルムが増加する際、ホロノミー表現における移動長の発散速度はどの程度か？

主な発見

• 任意の発散する二次微分の列で、プロジェクト固有極限がφである場合、モーガン＝シャレン境界におけるホロノミー写像の任意の蓄積点は、φに対応する双対R木Tφから、-equivariantかつ全射的ストレート写像をもつR木によって表される。
• プロジェクト固有極限φが単純な零点のみをもつ場合、ホロノミー列は双対R木Tφに対応する長さ関数に収束し、これは、-equivariant同相写像を除いて、極限作用の一意性を示している。
• アーベル長さ関数ℓ(γ) = |χ(γ)|の場合、元の微分は、コhomology類[χ] ∈ H¹(X, ℝ)に属する調和代表元を持つ正則1形式ωの平方でなければならない。
• ホロノミー表現hol(φ)がH³上で群の要素に作用する際の移動長はO(||φ||^{1/2})であり、この上限は鋭い：ある群要素は一様なc > 0に対して少なくともc||φ||^{1/2}の長さを達成する。
• ホロノミー写像Q(X) → X(Π)は、有効な増大見積もりを伴って正しく埋め込まれており、移動長のスケールが||φ||^{1/2}と同等である。
• 固定されたリーマン面でアーベル長さ関数に収束する列の存在は未解決の問題であるが、変化する表面を伴う高 genus ではそのような列が存在する。