[論文レビュー] Holonomy perturbations in a cylinder, and regularity for traceless SU(2) character varieties of tangles

Christopher M. Herald, Paul Kirk|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、ホロノミー摂動を用いて、ホロロジー3次元球面内のタングルに対するトレースレスSU(2)キャラクター多様体の正則性とシンプレクティック構造を確立する。円筒内の曲線に沿ったホロノミー摂動を構成し、ゴールドマンのハミルトニアンねじれフローを誘導することで、摂動されたキャラクター多様体が次元 $2n-3$ の滑らかな上部ストラトゥムと有限個の特異ストラトゥムを持つ分離多様体であることを証明する。また、境界2次元球面への制限写像が、 genus-$n$ 曲面のキャラクター多様体のシンプレクティック減少にラグランジュ的埋め込みを誘導することを示し、Floer理論的タングル不変量への重要な一歩を達成する。

ABSTRACT

The traceless $SU(2)$ character variety $R(S^2,\{a_i,b_i\}_{i=1}^n)$ of a $2n$-punctured 2-sphere is the symplectic reduction of a Hamiltonian $n$-torus action on the $SU(2)$ character variety of a closed surface of genus $n$. It is stratified with a finite singular stratum and a top smooth symplectic stratum of dimension $4n-6$. For generic holonomy perturbations $π$, the traceless $SU(2)$ character variety $R_π(Y,L)$ of an $n$-stranded tangle $L$ in a homology 3-ball $Y$ is stratified with a finite singular stratum and top stratum a smooth manifold. The restriction to $R(S^2, 2n)$ is a Lagrangian immersion which preserves the cone neighborhood structure near the singular stratum. For generic holonomy perturbations $π$, the variant $R_π^ atural(Y,L)$, obtained by taking the connected sum of $L$ with a Hopf link and considering $SO(3)$ representations with $w_2$ supported near the extra component, is a smooth compact manifold without boundary of dimension $2n-3$, which Lagrangian immerses into the smooth stratum of $R(S^2,\{a_i,b_i\}_{i=1}^n)$. The proofs of these assertions consist of stratified transversality arguments to eliminate non-generic strata in the character variety and to insure that the restriction map to the boundary character variety is also generic. The main tool introduced to establish abundance of holonomy perturbations is the use of holonomy perturbations along curves $C$ in a cylinder $F imes I$, where $F$ is a closed surface. When $C$ is obtained by pushing an embedded curve on $F$ into the cylinder, we prove that the corresponding holonomy perturbation induces one of Goldman's generalized Hamiltonian twist flows on the $SU(2)$ character variety $\mathcal{M}(F)$ associated to the curve $C$.

研究の動機と目的

• ホロノミー摂動を用いて、ホロロジー3次元球面内の$n$ストランドタングルに対するトレースレスSU(2)キャラクター多様体の正則性を確立すること。
• 摂動されたキャラクター多様体 $R_{ ilde{ u}}(Y,L)$ が、次元 $2n-3$ の滑らかな上部ストラトゥムと有限個の特異ストラトゥムを持つ分離多様体であることを示すこと。
• 境界2次元球面への制限写像が、 genus-$n$ 曲面のキャラクター多様体のシンプレクティック減少にラグランジュ的埋め込みを誘導することを証明すること。
• $w_2$-サポートドSO(3)表現と滑らかさを保証するために、ホップリンクとの連結和を取ることで得られる変種 $R_{ ilde{ u}}^{ atural}(Y,L)$ を定義し、それが滑らかなコンact多様体であり、境界キャラクター多様体の滑らかなストラトゥムにラグランジュ的埋め込みされることを示すこと。
• ラグランジュ-Floer homologyを用いたwell-definedなタングル不変量の基礎を築くこと。これは、Kronheimer-Mrowkaの $I^{ atural}$ と同型であると予想される。

提案手法

• 円筒 $F \times I$ 内の埋め込み曲線 $C$ に沿ったホロノミー摂動を用い、チェーン＝シンプソン汎関数を変形し、キャラクター多様体内の非一般的ストラトゥムを排除すること。
• このようなホロノミー摂動が、閉じた曲面 $F$ の $SU(2)$ キャラクター多様体 $\mathcal{M}(F)$ 上でゴールドマンの一般化されたハミルトニアンねじれフローを誘導することを証明すること。
• 分離的横断性の議論を適用し、$R_{ ilde{ u}}(Y,L)$ から $R(S^2, \{a_i,b_i\})$ への制限写像が横断的かつ一般的であることを保証すること。
• ホップリンクとの連結和を取ることで、$R_{ ilde{ u}}^{ atural}(Y,L)$ を構成し、$w_2$-サポートドSO(3)表現と滑らかさを保証すること。
• ホロノミー摂動の豊富さを活用し、シンプレクティック商へのラグランジュ的埋め込みが小刻み摂動に対してwell-definedかつ安定であることを示すこと。
• 曲面 $R(S^2, \{a_i,b_i\})$ のシンプレクティック減少構造が、ハミルトニアン $n$-トーラス作用による $\mathcal{M}(F)$ の商として得られることを活用すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホロノミー摂動を用いて、ホロロジー3次元球面内のタングルのトレースレス $SU(2)$ キャラクター多様体を正則化できるか？
• RQ2 摂動されたキャラクター多様体の境界2次元球面への制限が、曲面のキャラクター多様体のシンプレクティック減少にラグランジュ的埋め込みを誘導するか？
• RQ3 変種 $R_{ ilde{ u}}^{ atural}(Y,L)$ は、次元 $2n-3$ の滑らかなコンパクト多様体か？
• RQ4 ラグランジュ-Floer homology $FH(R_{ ilde{ u}}^{ atural}(Y_1,L_1), R_{ ilde{ u}}(Y_2,L_2))$ が、タングル $(Y,L)$ のwell-definedな不変量か？
• RQ5 このラグランジュ-Floer homologyとKronheimer-Mrowkaの $I^{ atural}(Y,L)$ の間に、予想される同型が存在するか？

主な発見

• 一般のホロノミー摂動 $\pi$ に対して、キャラクター多様体 $R_{\pi}(Y,L)$ は、次元 $2n-3$ の滑らかな上部ストラトゥムと有限個の特異ストラトゥムを持つ分離多様体である。
• 特異ストラトゥムの各点は、$\mathbb{C}P^{n-2}$ 上のコーンに同相な近傍を持ち、複素射影型の孤立特異点を示している。
• 制限写像 $R_{\pi}(Y,L) \to R(S^2, \{a_i,b_i\})$ は、滑らかな上部ストラトゥムを、次元 $4n-6$ のシンプレクティック多様体 $R(S^2, \{a_i,b_i\})^{\mathbb{Z}/2}$ にラグランジュ的埋め込みする。
• 変種 $R_{\pi}^{\natural}(Y,L)$ は、次元 $2n-3$ の滑らかなコンパクト多様体であり、境界キャラクター多様体の滑らかなストラトゥムにラグランジュ的埋め込みされる。
• $R_{\pi}^{\natural}(Y_1,L_1)$ と $R_{\pi}(Y_2,L_2)$ の交わりが横断的であるとき、それは正確に摂動されたチェーン＝シンプソン汎関数の臨界集合に一致し、$R_{\pi}^{\natural}(Y,L)$ に同定される。
• 本論文は、ラグランジュ-Floer homology $FH(R_{\pi}^{\natural}(Y_1,L_1), R_{\pi}(Y_2,L_2))$ がwell-definedなタングル不変量であるという強い証拠を提供する。これは、$I^\natural(Y,L)$ と同型であると予想される。