[論文レビュー] Homoclinic connections with many loops near a $0^2 iw$ resonant fixed point for Hamiltonian systems

Tiphaine Jézéquel, Patrick Bernard+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2014

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ハミルトニアン系における $0^2i\omega$ 共鳴固定点の近傍で、複数のループを持つホモクライン接続の存在を、エルフィック＝ティラペギ＝ブラシェ＝クレ＝イオスとモーザーの正規化にインspiredされた新規な正規形定理を用いて確立している。KAM理論と幾何的議論を組み合わせることで、指数的に小さな分離問題を克服し、原点以外のすべての周期軌道に対して、このような軌道が存在することを示している。

ABSTRACT

In this paper we study the dynamics near the equilibrium point of a family of Hamiltonian systems in the neighborhood of a $0^2 iw$ resonance. The existence of a family of periodic orbits surrounding the equilibrium is well-known and we show here the existence of homoclinic connections with several loops for every periodic orbit close to the origin, except the origin itself. To prove this result, we first show a Hamiltonian normal form theorem inspired by the Elphick-Tirapegui-Brachet-Coullet-Iooss normal form. We then use a local Hamiltonian normalization relying on a result of Moser. We obtain the result of existence of homoclinic orbits by geometrical arguments based on the low dimension and with the aid of a KAM theorem which allows to confine the loops. The same problem was studied before for reversible non Hamiltonian vectorfields, and the splitting of the homoclinic orbits lead to exponentially small terms which prevent the existence of homoclinic connections to exponentially small periodic orbits. The same phenomenon occurs here but we get round this difficulty thanks to geometric arguments specific to Hamiltonian systems and by studying homoclinic orbits with many loops.

研究の動機と目的

• ハミルトニアン系における $0^2i\omega$ 共鳴固定点の近傍の力学を解析すること、特にハミルトニアンホーファー分岐に続くサドル・センター則の下での動的挙動を対象とする。
• 通常、小さな周期軌道への真のホモクライン接続を妨げる指数的に小さな分離問題を克服する挑戦に取り組むこと。
• 原点の近傍にあるすべての周期軌道（原点を除く）に対して、複数のループを持つホモクライン軌道の存在を確立すること。
• エルフィック＝ティラペギ＝ブラシェ＝クレ＝イオスの枠組みを拡張し、$0^2i\omega$ 共鳴に特化したハミルトニアン正規形定理を構築すること。
• 次元が低い状況においてKAM理論と幾何的議論を適用し、これらのホモクライン軌道のループを局所化し、安定化すること。

提案手法

• エルフィック＝ティラペギ＝ブラシェ＝クレ＝イオスの方法にインspiredされた、$0^2i\omega$ 共鳴構造に適合したハミルトニアン正規形定理を導出すること。
• モーザーの定理に基づく局所的ハミルトニアン正規化を用いて、平衡点の近傍での系を単純化すること。
• 系の低次元的構造に基づく幾何的議論を用いて、不変多様体の配置を分析すること。
• KAM定理を用いてホモクライン軌道のループを局所化し、微小摂動に対してもその存続を保証すること。
• 複素座標変換と対称性の性質を用いて、正規化の過程でハミルトニアン構造を保存すること。
• 形式的べき級数変換 $\mathcal{F}_{\underline{\varepsilon}}$ を構築し、元の系を正規形に共役化することにより、原点の近傍で収束性と解析性を保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハミルトニアン系における $0^2i\omega$ 共鳴固定点の近傍に、複数のループを持つホモクライン接続が存在しうるか？
• RQ2 指数的に小さな分離効果をどのように克服することで、このような接続の存在を保証できるか？
• RQ3 $0^2i\omega$ 共鳴の場合に現れる正規形構造は何か？ これは可逆でハミルトニアンでない設定とはどのように異なるか？
• RQ4 この文脈において、KAM型の議論が多ループホモクライン軌道をどの程度安定化できるか？
• RQ5 このような軌道の存在は、原点を除くすべての小さな周期軌道に対してロバストであるか？

主な発見

• 原点の近傍における $0^2i\omega$ 共鳴ハミルトニアン系では、原点を除くすべての周期軌道に対して、複数のループを持つホモクライン接続が存在する。
• 新規なハミルトニアン正規形定理、モーザーの正規化、およびハミルトニアン力学に特有の幾何的議論を組み合わせることで、この存在結果が達成された。
• 通常、ホモクライン接続を妨げる指数的に小さな不変多様体の分離は、多ループ構造とKAMによる局所化によって克服された。
• 正規形変換はハミルトニアン構造を保存し、べき級数の評価により、原点の近傍で収束性が保証された。
• 系は形式的に正規形 $K_{\underline{\varepsilon}}(\xi_1\eta_1, \xi_2^2 + \eta_2^2)$ に共役可能であり、多ループホモクライン軌道の本質的力学を捉えている。
• この構成は、ハミルトニアン性質を保つ対称性と複素座標変換に依存しており、KAM理論を用いた軌道の安定化を可能にした。