[論文レビュー] Homoclinic Points For Area-Preserving Surface Diffeomorphisms

Zhihong Xia|ArXiv.org|Jun 13, 2006

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、コンパクトな可定向表面における $C^r$ 面積保存型表面微分同相写像および時間周期的ハミルトニアン系において、双曲的周期点に対する一般的軌道的ホモクライン点の存在を確立する。$C^r$ 接続補題とフラックスに基づく摂動技法を用いて、このような系の残渣的集合に対して、すべての双曲的周期点が軌道的ホモクライン交点を持つことを証明し、低次元ハミルトニアン力学系におけるポincareの古典的予想を裏付ける。

ABSTRACT

We show a $C^r$ connecting lemma for area-preserving surface diffeomorphisms and for periodic Hamiltonian on surfaces. We prove that for a generic $C^r$, $r=1, 2, ...$, $\infty$, area-preserving diffeomorphism on a compact orientable surface, homotopic to identity, every hyperbolic periodic point has a transversal homoclinic point. We also show that for a $C^r$, $r=1, 2, ...$, $\infty$ generic time periodic Hamiltonian vector field in a compact orientable surface, every hyperbolic periodic trajectory has a transversal homoclinic point. The proof explores the special properties of diffeomorphisms that are generated by Hamiltonian flows.

研究の動機と目的

• 低次元シンプレクティック多様体におけるハミルトニアン系の一般的軌道的ホモクライン点の存在に関するポincareの予想を解決すること。
• 面積保存型表面微分同相写像および時間周期的ハミルトニアン系における $C^r$ 接続補題を確立すること。
• コンパクトな可定向表面における $C^r$ 面積保存型微分同相写像の残渣的集合に対して、すべての双曲的周期点が軌道的ホモクライン点を有することを示すこと。
• Poincaré再帰写像の分析とハミルトニアン微分同相写像のゼロフラックス性を活用することで、結果を時間周期的ハミルトニアン系へ拡張すること。

提案手法

• 微分同相写像を摂動して、安定・不安定多様体上に再帰的点を生成することにより、面積保存型微分同相写像の $C^r$ 接続補題を構築する。
• 微分同相写像のフラックスベクトルを用いて、安定・不安定多様体の幾何を制御し、摂動後にフラックスが有理数になり、最終的にゼロになるように保証する。
• 閉曲線が表面上で持つ総フラックスがゼロであるという事実を用いたフラックスに基づく背理法を適用し、フラックスが消えると軌道的交差が生じることを導く。
• 時間周期的ハミルトニアン系を、ハミルトニアン微分同相写像として持つPoincaré再帰写像に還元する。
• ハミルトニアン微分同相写像がゼロフラックスを有すること（流れ管にストークスの定理を適用することで証明）を活用し、摂動技法が適用可能であることを保証する。
• 残渣的集合の議論を用いる：周期点が可算であるため、軌道的ホモクライン点を有する微分同相写像の集合は、$C^r$位相において残渣的である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトな可定向表面における一般的 $C^r$ 面積保存型微分同相写像は、すべての双曲的周期点に対して軌道的ホモクライン点を有するか？
• RQ2 面積保存型表面微分同相写像に対して $C^r$ 接続補題を確立できるか。その際、安定多様体と不安定多様体の軌道的交差を保証できるか？
• RQ3 コンパクトな可定向表面における時間周期的ハミルトニアン系に対しても、双曲的周期軌道の一般的軌道的ホモクライン点の存在は成り立つか？
• RQ4 ハミルトニアン微分同相写像のゼロフラックス性は、どのようにして軌道的ホモクライン交差の構成を容易にするか？
• RQ5 面積およびシンプレクティック構造を保存する摂動技法を用いて、安定多様体および不安定多様体上に再帰的点を生成できるか？

主な発見

• コンパクトな可定向表面における任意の $C^r$ 面積保存型微分同相写像（恒等写像にホモトープ）に対して、すべての双曲的周期点に対して軌道的ホモクライン点を有する写像の集合は、$C^r$ 位相において残渣的である。
• 証明は、フラックスを有理数にし、最終的にゼロにすることで微分同相写像を摂動する $C^r$ 接続補題を確立し、これにより軌道的交差を強制する。
• コンパクトな可定向表面における $C^{r+1}$ 時間周期的ハミルトニアン系に対して、Poincaré再帰写像はゼロフラックスを持つハミルトニアン微分同相写像であるため、同様の摂動戦略が適用可能である。
• ハミルトニアン系における一般的軌道的ホモクライン点の存在は、微分同相写像の場合と同様の議論により成立する。これは、ハミルトニアン微分同相写像のゼロフラックス性のおかげである。
• ハミルトニアンフローにおける任意の単純閉曲線を貫るフラックスはゼロである。これは、流れ管にストークスの定理を適用することで証明され、証明における背理法の根幹をなす。
• この結果により、特に $r=1,2,\ldots,\infty$ の $C^r$ 正則性を有する表面および低次元ハミルトニアン系において、ポincareの予想、すなわち軌道的ホモクライン点の一般的性が裏付けられる。