[論文レビュー] Homogeneous Cone Complementarity Problems and $P$ Properties

Lingchen Kong, Levent Tunçel+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2009

Advanced Topics in Algebra参考文献 29被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、同次コーンのT代数的構造の文脈において、一般化されたP性質を用いて、同次コーン補完問題（HCCP）の解の存在および一意性の条件を確立する。連続関数Fが順序-P₀およびR₀、またはP₀およびR₀の性質を満たすならば、任意のqに対してHCCPは解をもつことを証明する。さらに、単調関数でトレース-Pまたは均一トレース-P性質を満たす場合、解のグローバル一意性と誤差評価が保証される。

ABSTRACT

We consider existence and uniqueness properties of a solution to homogeneous cone complementarity problem (HCCP). Employing the $T$-algebraic characterization of homogeneous cones, we generalize the $P, P_0, R_0$ properties for a nonlinear function associated with the standard nonlinear complementarity problem to the setting of HCCP. We prove that if a continuous function has either the order-$P_0$ and $R_0$, or the $P_0$ and $R_0$ properties then all the associated HCCPs have solutions. In particular, if a continuous function has the trace-$P$ property then the associated HCCP has a unique solution (if any); if it has the uniform-trace-$P$ property then the associated HCCP has the global uniqueness (of the solution) property (GUS). We present a necessary condition for a nonlinear transformation to have the GUS property. Moreover, we establish a global error bound for the HCCP with the uniform-trace-$P$ property. Finally, we study the HCCP with the relaxation transformation on a $T$-algebra and automorphism invariant properties for homogeneous cone linear complementarity problem.

研究の動機と目的

• 標準的非線形補完問題におけるP性質を、より広範な同次コーン補完問題（HCCP）の設定へと拡張すること。
• 一般化されたP₀およびR₀性質を用いて、HCCPにおける解の存在の十分条件を確立すること。
• 単調性および均一トレース-P条件の下で、HCCPにおける解のグローバル一意性（GUS性質）を特徴づけること。
• 均一トレース-P性質の下で、HCCPに対するグローバル誤差評価を導出することにより、NCPおよびSCCPにおける既知の結果を一般化すること。
• 理論的結果を任意の凸コーンへと拡張し、より広範なコーン最適化分野における今後の研究方向性を示唆すること。

提案手法

• 同次コーンのT代数的特徴付けを用いて、有限次元内積空間における距離射影およびその性質を分析する。
• HCCP設定における連続関数F: H → Hに対して、新たなP性質（順序-P₀、トレース-P、均一トレース-P、およびその変種）を導入する。
• 次数論を用いて、FがP₀およびR₀、または順序-P₀およびR₀の性質を満たす場合に解の存在を証明する。
• 距離射影の恒等式およびジョルダン基底を用いたスペクトル分解を用いて、誤差評価の見積もりを導出する。
• Fのリプシッツ連続性およびT代数におけるノルム不等式を活用して、反復点と解との距離を評価する。
• 均一トレース-P性質を組み合わせ、射影安定性およびノルム収縮の議論を用いて、グローバル誤差評価を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続関数Fがどのような条件下に、任意のq ∈ Hに対して同次コーン補完問題（HCCP）に解をもつのか。
• RQ2 古典的P性質およびP₀性質は、同次コーンの設定へどのように一般化できるか。
• RQ3 Fが単調である場合に、HCCPにおける解のグローバル一意性（GUS）を保証する条件は何か。
• RQ4 均一トレース-P性質の下で、HCCPに対するグローバル誤差評価を確立できるか。
• RQ5 これらの結果は、同次コーンを越えて任意の凸コーンへどの程度一般化できるか。

主な発見

• 連続関数Fが順序-P₀およびR₀の両方の性質を満たすならば、任意のq ∈ Hに対してHCCP(F, q)は解をもつ。
• FがP₀およびR₀の両方の性質を満たすならば、HCCP(F, q)はすべてのq ∈ Hに対して可解であり、これは古典的NCP結果をHCCPへと拡張する。
• Fが単調で、トレース-P性質を満たすならば、HCCP(F, q)は解が存在する場合に限り一意に解をもつ。これは対称コーンにおける一意性結果を一般化する。
• Fが単調で、均一トレース-P性質を満たすならば、HCCP(F, q)はグローバルに一意に解ける（GUS性質）を満たす。
• 均一トレース-P性質の下で、HCCPに対するグローバル誤差評価が確立される：‖x − x*‖ ≤ C ⋅ max_i |⟨(F(x) − F(x*))(x − x*), e_i⟩| であり、Cはリプシッツ定数およびコーン構造に依存する。
• 誤差評価は、NCPおよびSCCPにおける既知の結果を一般化しており、証明はT代数におけるスペクトル分解および射影安定性に依存する。