[論文レビュー] Homogeneous division polynomials for Weierstrass elliptic curves

Jinbi Jin|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、任意の環上のすべてのワイエルシュトラス楕円曲線におけるn倍写像を定義する、ℤ[a₁,a₂,a₃,a₄,a₆][x,y,z] 上の斉次除法多項式 αₙ, βₙ, γₙ を構成する。これは立方体の定理を用いてその存在と普遍性を証明する。主な貢献は、バアジズによる複素数体ℂ上でのモジュラー曲線Y₁(n)の式が、実際にはℤ[1/n]上でもY₁(n)を定義することを示したことである。

ABSTRACT

Starting from the classical division polynomials we construct homogeneous polynomials $α_n$, $β_n$, $γ_n$ such that for $P = (x:y:z)$ on an elliptic curve in Weierstrass form over an arbitrary ring we have $nP = \bigl(α_n(P):β_n(P):γ_n(P)\bigr)$. To show that $α_n,β_n,γ_n$ indeed have this property we use the a priori existence of such polynomials, which we deduce from the Theorem of the Cube. We then use this result to show that the equations defining the modular curve $Y_1(n)_{\mathbb C}$ computed for example by Baaziz, in fact are equations of $Y_1(n)$ over $\mathbb Z[1/n]$.

研究の動機と目的

• 任意の環上のすべてのワイエルシュトラス楕円曲線、非アフィン点を含むすべての点P = (x:y:z)に対して、nP = (αₙ(P) : βₙ(P) : γₙ(P)) を満たす、ℤ[a₁,a₂,a₃,a₄,a₆][x,y,z] 上の斉次多項式αₙ, βₙ, γₙ を構成すること。
• 古典的除法多項式がz=1のアフィン点でのみ定義されるという制限を克服し、射影的で斉次の形式を提供すること。
• 複素数体ℂ上でのモジュラー曲線Y₁(n)の古典的式、たとえばバアジズの式が、実際にはℂ上ではなくℤ[1/n]上でもY₁(n)を定義することを証明すること。
• これらの斉次多項式を用いて、ℤ[1/n]上に普遍な滑らかなワイエルシュトラス曲線が普遍的なn階捩れ点を備えた標準的モデルをもつことを確立すること。
• 斉次多項式αₙ, βₙ, γₙが符号を除き一意に定まり、次数がn²であることを示し、古典的アフィンケースを一般化すること。

提案手法

• 古典的除法多項式ΦₙΨₙ, Ωₙ, Ψₙ³ の斉次化を、ワイエルシュトラス方程式を法として行い、次数n²および斉次性を保証することでαₙ, βₙ, γₙ を構成する。
• 立方体の定理を用いて、任意の環上の滑らかなワイエルシュトラス曲線におけるn倍写像を定義するこのような斉次多項式の事前存在を証明する。
• 問題を普遍滑らかなワイエルシュトラス曲線に還元し、立方体の定理を用いて多項式αₙ, βₙ, γₙ が普遍曲線上でn倍写像を定義することを示す。
• 基底変換に関して多項式が正しく定義され、整合的であることを示すことにより、滑らかな曲線からすべてのワイエルシュトラス曲線（特異点を含む）へと結果を拡張する。
• 楕円曲線にZ/nZ-埋め込みをもつモジュライ問題にこの構成を適用し、タート正規形を用いてℤ[1/n]上での表現可能性を示す。
• ψₙと以前のfₙを用いてfₙ ∈ ℤ[1/n][s,t] を再帰的に定義し、fₙ = 0とδ ≠ 0（判別式条件）を組み合わせることで、Y₁(n)がℤ[1/n]上に定義されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℤ[a₁,a₂,a₃,a₄,a₆][x,y,z] 上に、任意の環上のすべてのワイエルシュトラス曲線およびすべての点P = (x:y:z)に対してnP = (αₙ(P) : βₙ(P) : γₙ(P)) を満たす斉次多項式αₙ, βₙ, γₙ を構成できるか？
• RQ2 立方体の定理の使用により、このような斉次除法多項式の存在と普遍性について、概念的な証明が可能か？
• RQ3 複素数体ℂ上でのモジュラー曲線Y₁(n)の古典的式、たとえばバアジズの式が、実際にはℂ上ではなくℤ[1/n]上でもY₁(n)を定義するか？
• RQ4 fₙの消滅と判別式の非消滅を用いて、楕円曲線にZ/nZ-埋め込みをもつモジュライ空間がℤ[1/n]上で表現可能か？
• RQ5 タート正規形を用いて、普遍なn階捩れ点が、ℤ[1/n][s,t,δ⁻¹] 上のワイエルシュトラス曲線上で(0:0:1)に対応することを示せるか？

主な発見

• 斉次多項式αₙ, βₙ, γₙ は存在し、符号を除き一意に定まり、それぞれ次数n²をもち、任意の環上のすべてのワイエルシュトラス曲線およびすべての点P = (x:y:z)に対してnP = (αₙ(P) : βₙ(P) : γₙ(P)) を満たす。
• 立方体の定理により、このような多項式の存在が概念的に証明され、普遍滑らかなワイエルシュトラス曲線上でn倍写像を定義することが保証される。
• fₙ = 0とδ ≠ 0（fₙはψₙ = Ψₙ(1+s,t,t,0,0,0,0)から再帰的に定義される）は、ℂ上ではなくℤ[1/n]上でもモジュラー曲線Y₁(n)を定義する。
• 楕円曲線にZ/nZ-埋め込みをもつモジュライ問題P(n)は、Spec ℤ[1/n][s,t,δ⁻¹,1/n]/(fₙ) によってℤ[1/n]上で表現可能であり、普遍曲線はy²z + (1+s)xyz + t yz² = x³ + t x² z で与えられる。
• 普遍なn階捩れ点はこのモデル上で(0:0:1)に対応し、構成によりfₙがℤ[1/n]上でのn階捩れ点においてちょうど消えることが確認される。
• この構成により、複素数体ℂ上でのY₁(n)の古典的式、たとえばバアジズ（2010）の式が、実際にはℤ[1/n]上でも有効であることが示され、その算術的意義が拡張される。