[論文レビュー] Homogeneous Einstein Metrics on SO(n)

C.N. Pope|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2010

Geometry and complex manifolds参考文献 3被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、SO(n) における同次エインシュタイン計量の明示的族を、SO(n) × SO(p) × SO(q) の部分群（p + q = n）に対して不変な左不変計量アンサッツを用いて構築する。これらの対称性制約の下でエインシュタイン方程式を解くことで、SO(2k) に対して (3k−4) 個の同値でないエインシュタイン計量、SO(2k+1) に対して (3k−3) 個の同値でないエインシュタイン計量の存在を証明し、次元が増加するにつれてその数が無限に増加することを示している。

ABSTRACT

It is well known that every compact simple Lie group G admits an Einstein metric that is invariant under the independent left and right actions of G. In addition to this bi-invariant metric, with G x G symmetry, it was shown by D'Atri and Ziller that every compact simple Lie group except SU(2) and SO(3) admits at least one further homogeneous Einstein metric, invariant under G x H, where H is some proper subgroup of G. In this paper we consider the Lie groups G=SO(n) for arbitrary n, and provide an explicit construction of (3k-4) inequivalent homogeneous Einstein metrics on SO(2k), and (3k-3) inequivalent homogeneous Einstein metrics on SO(2k+1).

研究の動機と目的

• 標準的な双不変計量を超える、SO(n) における新しい同次エインシュタイン計量を体系的に構築すること。
• コンパクトな単純リー群における同値でない同次エインシュタイン計量の数が、次元の増加に伴い増加するかどうかを調査すること。
• SO(n) の SO(p)×SO(q) 部分群に基づく制限された計量アンサッツの下で、エインシュタイン方程式の明示的かつ非退化な解を提供すること。
• すべての有効な分割 n = p + q に対して解を構築することで、SO(n) における同値でないエインシュタイン計量の数の下界を確立すること。
• 曲率と体積から導かれる次元なしの不変量 I₁ と I₂ を用いて、計量の同値性を確認すること。

提案手法

• SO(n) 上の左不変計量アンサッツを定式化し、SO(p) × SO(q) ⊂ SO(n) の下での随伴表現の分解に対応する3つの異なるスパッティングパラメータ x₁, x₂, x₃ を導入する。
• Cartan-Maurer 構造方程式 dL_{AB} = L_{AC} ∧ L_{CB} を用いて、計量成分の関数として曲率テンソルおよびリッチテンソルを代数的に導出する。
• エインシュタイン条件 R_{μν} = λg_{μν} を課し、計量パラメータ x₁, x₂, x₃ に関する代数方程式系を導出する。
• 比 y = x₁/x₃ を導入することで、各 (p,q) 分割に対して y に関する3次方程式に方程式を簡略化する。
• 次元なしの不変量 I₁ = λ^{d/2}V および I₂ = R^{abcd}R_{abcd}λ^{-2} を計算して、計量の同値性を区別する。
• n = p + q に分割して分類し、すべての分割において非退化で双不変でない解の数を数える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の n に対して、SO(n) に同値でない同次エインシュタイン計量はいくつ存在するか？
• RQ2 SO(n) の次元が増加するにつれて、このような計量の数が無限に増加する可能性はあるか？
• RQ3 部分群対称性 SO(p) × SO(q) は、SO(n) におけるエインシュタイン計量の構築をどのように簡略化するか？
• RQ4 構築された計量は真に同値でないものか、そしてその確認はどのように厳密に行えるか？
• RQ5 解は双不変計量を含んでおり、もしそうなら、それらはどのようにしてそれと区別されるか？

主な発見

• 論文は、k ≥ 2 に対して SO(2k) に (3k−4) 個の同値でない同次エインシュタイン計量を構築し、すべての有効な分割 n = p + q に対して明示的解を与える。
• SO(2k+1) に対しても、k ≥ 2 の下で同様の対称性に基づくアンサッツを用いて (3k−3) 個の同値でない同次エインシュタイン計量を構築する。
• q ≥ 2 かつ p = n−q である各分割 (p,q) に対して、エインシュタイン方程式は最大3つの異なる解をもたらし、それらはスパッティングパラメータ y = x₁/x₃ の3つの異なる値に対応する。
• 解を決定する y に関する3次方程式は一般に3つの実数かつ非退化根を持ち、それぞれが異なる曲率不変量を持つ別個のエインシュタイン計量に対応する。
• q = 2 または p = q ≥ 3 の特別な場合、3次方程式は有理的に因数分解され、双不変計量の他に1つまたは2つの追加の非退化解が得られる。
• 異なる解に対して不変量 I₁ と I₂ は異なる値をとり、それらが計量の同値でないことを確認し、分類の妥当性を裏付けた。