[論文レビュー] Homogeneous Finsler spaces and the flag-wise positively curved condition

Ming Xu, Shaoqiang Deng|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2016

Advanced Differential Geometry Research参考文献 8被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、各接平面に正のフラッグ曲率を持つフラッグポールを含むFinsler空間におけるフラッグごとの正の曲率（FP）条件を導入する。Killingナビゲーション技法を用いて、コンパクトなコセット空間、特に複素ヒルベルト対称空間上の$S^1$-バンドル上に、非負の曲率を持つ同次Randers計量を構成し、根系基準を用いて、それらの多くが正の曲率を持つ同次Finsler計量を有し得ないことを証明する。また、$S^3 \times \mathbb{R}$上で非コンパクトなフラッグごとの正の曲率を持つFinsler計量の例を初めて提示し、ホフプ予想に対する新たな知見を提供する。

ABSTRACT

In this paper, we introduce the flag-wise positively curved condition for Finsler spaces (the (FP) Condition), which means that in each tangent plane, we can find a flag pole in this plane such that the corresponding flag has positive flag curvature. Applying the Killing navigation technique, we find a list of compact coset spaces admitting non-negatively curved homogeneous Finsler metrics satisfying the (FP) Condition. Using a crucial technique we developed previously, we prove that most of these coset spaces cannot be endowed with positively curved homogeneous Finsler metrics. We also prove that any Lie group whose Lie algebra is a rank $2$ non-Abelian compact Lie algebra admits a left invariant Finsler metric satisfying the (FP) condition. As by-products, we find the first example of non-compact coset space $S^3 imes \mathbb{R}$ which admits homogeneous flag-wise positively curved Finsler metrics. Moreover, we find some non-negatively curved Finsler metrics on $S^2 imes S^3$ and $S^6 imes S^7$ which satisfy the (FP) condition, as well as some flag-wise positively curved Finsler metrics on $S^3 imes S^3$, shedding some light on the long standing general Hopf conjecture.

研究の動機と目的

• Finsler幾何学におけるフラッグごとの正の曲率（FP）条件を定式化し、各接平面が正のフラッグ曲率を持つフラッグポールを含むことを要件とする。
• 特にコンパクト型の複素ヒルベルト対称空間上の$S^1$-バンドルを含む、コンパクトなコセット空間上に、FP条件を満たす非負の曲率を持つ同次Finsler計量を構成する。
• 根系に基づく基準を用いて、これらの構成された空間の多くが正の曲率を持つ同次Finsler計量を有し得ないことを証明する。
• 非コンパクトなコセット空間$S^3 \times \mathbb{R}$上で、同次的なフラッグごとの正の曲率を持つFinsler計量を有する初の例を提供する。
• $S^2 \times S^3$、$S^6 \times S^7$、$S^3 \times S^3$上での新しい例の構成を通じて、長年の一般ホフプ予想への影響を検討する。

提案手法

• 正のフラッグ曲率の一般化として、フラッグごとの正の曲率（FP）条件を導入し、任意の接平面に対して、対応するフラッグ曲率が正であるようなフラッグポールが存在することを要件とする。
• Riemannian正規同次計量と不変なKillingベクトル場から、Killingナビゲーション技法を用いて、コセット空間$G/(T^{k-1} \cdot H)$上に$G$-同次なRanders計量を構成する。
• Cartan代数および根平面における直交性と包含条件を満たす線形独立な根のペアが存在しないことに基づく、根系基準（定理1.4）を重要な役割で用いる。
• 接空間上の随伴表現$\mathrm{Ad}(g)$の作用を用いて$F$-内積構造を分析し、非整数回転角が$F$-計量テンソルにおける混合項の消失を引き起こすことを示す。
• 補題5.3と$\mathrm{Ad}(H')$-不変性を用いて、特定の根平面における$F$-ノルムがフラッグポール方向に一定であることを示し、正の曲率が仮定された場合に矛盾を導く。
• Lie代数の型（$A_1$、$A_n$、$B_n$など）と根ベクトルの相対的スケーリングに基づくケース解析を行い、正の曲率計量を有する可能性があるコセット空間を分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の曲率を持つリーマン計量を有さないコンパクトなコセット空間上に、非負の曲率を持つFP条件を満たす同次Finsler計量を構成できるか？
• RQ2 どのコンパクトなコセット空間が正の曲率を持つ同次Finsler計量を有できるか。また、その阻害要因としての根系の障害は何か？
• RQ3 フラッグごとの正の曲率条件は、非コンパクトな同次Finsler空間に、正のフラッグ曲率を持つ新たな例を許容するか？
• RQ4 球面の積上でのフラッグごとの正の曲率を持つFinsler計量の新規構成により、ホフプ予想に近づけるか？
• RQ5 $S^3 \times \mathbb{R}$では、非コンパクト性にもかかわらず、同次Finsler計量がFP条件を満たす例が存在するか？

主な発見

• 本稿は、コンパクトな非可約複素ヒルベルト対称空間上の$S^1$-バンドル上に、非負の曲率を持つ同次Randers計量をFP条件を満たすように構成し、$\mathrm{SU}(p+q)/\mathrm{SU}(p)\mathrm{SU}(q)$（$p \geq q > 1$）、$\mathrm{SO}(n)/\mathrm{SO}(n-2)$（$n > 4$）、$\mathrm{Sp}(n)/\mathrm{SU}(n)$（$n > 1$）、$\mathrm{SO}(2n)/\mathrm{SU}(n)$（$n > 2$）、$\mathrm{E}_6/\mathrm{SO}(10)$、$\mathrm{E}_7/\mathrm{E}_6$を含む。
• これらの構成された空間の多く、特にコンパクト型の複素ヒルベルト対称空間上のすべての$S^1$-バンドル（球面を除く）は、定理1.4の基準に反する根のペアが存在するため、正の曲率を持つ同次Finsler計量を有し得ないことが証明された。
• 非コンパクトなコセット空間$S^3 \times \mathbb{R}$上で、同次的なフラッグごとの正の曲率を持つFinsler計量を有する初の例が示され、コンパクト空間を超えた例の範囲が拡張された。
• 本稿は、$S^2 \times S^3$、$S^6 \times S^7$、$S^3 \times S^3$上に、非負の曲率を持つFinsler計量をFP条件を満たすように構成し、一般ホフプ予想の検証に新たな道筋を提供した。
• $\mathrm{SU}(2) \times \mathrm{SU}(2)/S^1$では、レムマ6.1により、非共鳴条件の下でスケーリングパラメータ$c_1, c_2$の選択肢は有限個に限られ、正の曲率を持つ同次Finsler計量が存在する可能性がある。
• 非整数回転角での平均化と$\mathrm{Ad}(g)$-不変性を用いた証明技法により、$F$-内積における混合項が消失し、正の曲率が仮定された場合に矛盾を導くことが示された。